Theorem climabs 11797

Description: Limit of the absolute value of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1lem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climcn1lem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climabs.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climabs	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (abs‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climabs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1lem.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcn1lem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
3		climcn1lem.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
4		climcn1lem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climcn1lem.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
6		absf 11587	. . 3 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		ax-resscn 8059	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8		fss 5461	. . 3 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
9	6, 7, 8	mp2an 426	. 2 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
10		abscn2 11792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((abs‘𝑧) − (abs‘𝐴))) < 𝑥))
11		climabs.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11	climcn1lem 11796	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  ℂcc 7965  ℝcr 7966  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  abscabs 11474   ⇝ cli 11755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-rp 9818  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756

This theorem is referenced by:  iserabs  11952