Theorem efieq 11442

Description: The exponentials of two imaginary numbers are equal iff their sine and cosine components are equal. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem efieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7753	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 7753	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		efival 11439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4		efival 11439	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
5	3, 4	eqeqan12d 2155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
6	1, 2, 5	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
7		recoscl 11428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
8		resincl 11427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
9	7, 8	jca 304	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ))
10		recoscl 11428	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
11		resincl 11427	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sin‘𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 304	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ))
13		cru 8364	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
14	9, 12, 13	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
15	6, 14	bitrd 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  ici 7622   + caddc 7623   · cmul 7625  expce 11348  sincsin 11350  cosccos 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357

This theorem is referenced by: (None)