Theorem efieq 11676

Description: The exponentials of two imaginary numbers are equal iff their sine and cosine components are equal. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem efieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7886	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 7886	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		efival 11673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4		efival 11673	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
5	3, 4	eqeqan12d 2181	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
6	1, 2, 5	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
7		recoscl 11662	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
8		resincl 11661	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
9	7, 8	jca 304	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ))
10		recoscl 11662	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
11		resincl 11661	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sin‘𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 304	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ))
13		cru 8500	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
14	9, 12, 13	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
15	6, 14	bitrd 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  ici 7755   + caddc 7756   · cmul 7758  expce 11583  sincsin 11585  cosccos 11586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591  df-cos 11592

This theorem is referenced by: (None)