ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssub2 GIF version

Theorem dvdssub2 11380
Description: If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssub2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))

Proof of Theorem dvdssub2
StepHypRef Expression
1 zsubcl 8996 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
213adant1 982 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
3 dvds2sub 11373 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
42, 3syld3an3 1244 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
54ancomsd 267 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
65imp 123 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁)))
7 zcn 8960 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8 zcn 8960 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9 nncan 7911 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
107, 8, 9syl2an 285 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
11103adant1 982 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
1211adantr 272 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
136, 12breqtrd 3919 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → 𝐾𝑁)
1413expr 370 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))
15 dvds2add 11372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁)))
162, 15syld3an2 1246 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁)))
1716imp 123 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁))
18 npcan 7891 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
197, 8, 18syl2an 285 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
20193adant1 982 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
2120adantr 272 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
2217, 21breqtrd 3919 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → 𝐾𝑀)
2322expr 370 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑁𝐾𝑀))
2414, 23impbid 128 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  cc 7542   + caddc 7547  cmin 7853  cz 8955  cdvds 11338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-ltadd 7658
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-inn 8628  df-n0 8879  df-z 8956  df-dvds 11339
This theorem is referenced by:  dvdsadd  11381
  Copyright terms: Public domain W3C validator