Theorem dvdssub2 11978

Description: If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssub2	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdssub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2	1	3adant1 1017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
3		dvds2sub 11969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
4	2, 3	syld3an3 1294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
5	4	ancomsd 269	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
6	5	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)))
7		zcn 9322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		zcn 9322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nncan 8248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
11	10	3adant1 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
13	6, 12	breqtrd 4055	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
14	13	expr 375	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ 𝑁))
15		dvds2add 11968	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
16	2, 15	syld3an2 1296	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
17	16	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
18		npcan 8228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
19	7, 8, 18	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
20	19	3adant1 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
22	17, 21	breqtrd 4055	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
23	22	expr 375	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ 𝑀))
24	14, 23	impbid 129	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   + caddc 7875   − cmin 8190  ℤcz 9317   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  dvdsadd  11979  znunit  14147  2sqlem8  15210