Theorem dvdssub2 12627

Description: If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssub2	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdssub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2	1	3adant1 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
3		dvds2sub 12618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
4	2, 3	syld3an3 1323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
5	4	ancomsd 269	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
6	5	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)))
7		zcn 9660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		zcn 9660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nncan 8562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
11	10	3adant1 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
13	6, 12	breqtrd 4157	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
14	13	expr 375	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ 𝑁))
15		dvds2add 12617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
16	2, 15	syld3an2 1325	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
17	16	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
18		npcan 8542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
19	7, 8, 18	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
20	19	3adant1 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
22	17, 21	breqtrd 4157	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
23	22	expr 375	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ 𝑀))
24	14, 23	impbid 129	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8183   + caddc 8188   − cmin 8504  ℤcz 9655   ∥ cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-dvds 12580

This theorem is used by:  dvdsadd  12628  3dvds  12656  bitsmod  12748  bitsinv1lem  12753  znunit  15103  perfectlem1  16299  2sqlem8  16447