Theorem elfznn 10148

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10119	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10121	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9368	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  1c1 7899   ≤ cle 8081  ℕcn 9009  ℤcz 9345  ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

This theorem is referenced by:  elfz1end  10149  fz1ssnn  10150  fzossnn  10284  nninfdcex  10346  bcm1k  10871  bcpasc  10877  seq3coll  10953  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  fsum3  11571  isumz  11573  fsumcl2lem  11582  binomlem  11667  arisum2  11683  trireciplem  11684  geo2sum  11698  cvgratnnlemsumlt  11712  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  prod1dc  11770  fzm1ndvds  12040  nnmindc  12228  nnminle  12229  phicl  12410  eulerthlemrprm  12424  prmdivdiv  12432  dvdsfi  12434  odzcllem  12438  odzdvds  12441  modprm0  12450  pcfac  12546  pcbc  12547  1arith  12563  4sqlem13m  12599  4sqlem14  12600  4sqlem17  12603  4sqlem18  12604  mulgnngsum  13335  mulgnn0z  13357  mulgnndir  13359  dvply1  15109  wilthlem1  15324  lgsval2lem  15359  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  lgseisen  15423  lgsquadlemsfi  15424  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  2lgslem1a1  15435  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemlt1  15798  nconstwlpolemgt0  15821