Theorem elfznn 10279

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10250	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10252	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9492	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  1c1 8023   ≤ cle 8205  ℕcn 9133  ℤcz 9469  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  elfz1end  10280  fz1ssnn  10281  fzossnn  10419  nninfdcex  10487  bcm1k  11012  bcpasc  11018  seq3coll  11096  pfxfv0  11263  pfxfvlsw  11266  summodclem3  11931  summodclem2a  11932  fsum3  11938  isumz  11940  fsumcl2lem  11949  binomlem  12034  arisum2  12050  trireciplem  12051  geo2sum  12065  cvgratnnlemsumlt  12079  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  fprodseq  12134  prod1dc  12137  fzm1ndvds  12407  nnmindc  12595  nnminle  12596  phicl  12777  eulerthlemrprm  12791  prmdivdiv  12799  dvdsfi  12801  odzcllem  12805  odzdvds  12808  modprm0  12817  pcfac  12913  pcbc  12914  1arith  12930  4sqlem13m  12966  4sqlem14  12967  4sqlem17  12970  4sqlem18  12971  mulgnngsum  13704  mulgnn0z  13726  mulgnndir  13728  dvply1  15479  wilthlem1  15694  lgsval2lem  15729  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlemsfi  15794  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798  2lgslem1a1  15805  cvgcmp2nlemabs  16572  trilpolemlt1  16581  nconstwlpolemgt0  16604