Theorem elfznn 10477

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10445	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10448	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9678	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  1c1 8186   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  ℤcz 9655  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  elfz1end  10478  fz1ssnn  10479  fzossnn  10619  nninfdcex  10689  bcm1k  11220  bcpasc  11226  seq3coll  11316  pfxfv0  11486  pfxfvlsw  11489  summodclem3  12172  summodclem2a  12173  fsum3  12179  isumz  12181  fsumcl2lem  12190  binomlem  12275  arisum2  12291  trireciplem  12292  geo2sum  12306  cvgratnnlemsumlt  12320  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  fprodseq  12375  prod1dc  12378  fzm1ndvds  12648  nnmindc  12836  nnminle  12837  phicl  13022  eulerthlemrprm  13036  prmdivdiv  13044  dvdsfi  13046  odzcllem  13050  odzdvds  13053  modprm0  13062  pcfac  13158  pcbc  13159  1arith  13175  4sqlem13m  13211  4sqlem14  13212  4sqlem17  13215  4sqlem18  13216  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemic  13308  ballotfilem1c  13309  ballotfilemsel1i  13314  ballotfilemsf1o  13315  mulgnngzsum  13989  mulgnn0z  14011  mulgnndir  14013  dvply1  15991  birthdaylem2  16226  wilthlem1  16232  prmdvdsfi  16243  prmorcht  16282  pcbcctr  16303  bposlem1  16311  bposlem2  16312  lgsval2lem  16334  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlemsfi  16399  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  2lgslem1a1  16410  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemlt1  17297  nconstwlpolemgt0  17321