Theorem elfznn 10175

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10146	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10148	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9394	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  1c1 7925   ≤ cle 8107  ℕcn 9035  ℤcz 9371  ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130

This theorem is referenced by:  elfz1end  10176  fz1ssnn  10177  fzossnn  10311  nninfdcex  10378  bcm1k  10903  bcpasc  10909  seq3coll  10985  summodclem3  11633  summodclem2a  11634  fsum3  11640  isumz  11642  fsumcl2lem  11651  binomlem  11736  arisum2  11752  trireciplem  11753  geo2sum  11767  cvgratnnlemsumlt  11781  prodmodclem3  11828  prodmodclem2a  11829  fprodseq  11836  prod1dc  11839  fzm1ndvds  12109  nnmindc  12297  nnminle  12298  phicl  12479  eulerthlemrprm  12493  prmdivdiv  12501  dvdsfi  12503  odzcllem  12507  odzdvds  12510  modprm0  12519  pcfac  12615  pcbc  12616  1arith  12632  4sqlem13m  12668  4sqlem14  12669  4sqlem17  12672  4sqlem18  12673  mulgnngsum  13405  mulgnn0z  13427  mulgnndir  13429  dvply1  15179  wilthlem1  15394  lgsval2lem  15429  lgseisenlem1  15489  lgseisenlem2  15490  lgseisenlem3  15491  lgseisenlem4  15492  lgseisen  15493  lgsquadlemsfi  15494  lgsquadlem1  15496  lgsquadlem2  15497  lgsquadlem3  15498  2lgslem1a1  15505  cvgcmp2nlemabs  15904  trilpolemlt1  15913  nconstwlpolemgt0  15936