Theorem elfznn 10289

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10260	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10262	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9502	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  1c1 8033   ≤ cle 8215  ℕcn 9143  ℤcz 9479  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  elfz1end  10290  fz1ssnn  10291  fzossnn  10430  nninfdcex  10498  bcm1k  11023  bcpasc  11029  seq3coll  11107  pfxfv0  11277  pfxfvlsw  11280  summodclem3  11959  summodclem2a  11960  fsum3  11966  isumz  11968  fsumcl2lem  11977  binomlem  12062  arisum2  12078  trireciplem  12079  geo2sum  12093  cvgratnnlemsumlt  12107  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  fprodseq  12162  prod1dc  12165  fzm1ndvds  12435  nnmindc  12623  nnminle  12624  phicl  12805  eulerthlemrprm  12819  prmdivdiv  12827  dvdsfi  12829  odzcllem  12833  odzdvds  12836  modprm0  12845  pcfac  12941  pcbc  12942  1arith  12958  4sqlem13m  12994  4sqlem14  12995  4sqlem17  12998  4sqlem18  12999  mulgnngsum  13732  mulgnn0z  13754  mulgnndir  13756  dvply1  15508  wilthlem1  15723  lgsval2lem  15758  lgseisenlem1  15818  lgseisenlem2  15819  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821  lgseisen  15822  lgsquadlemsfi  15823  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  lgsquadlem3  15827  2lgslem1a1  15834  cvgcmp2nlemabs  16687  trilpolemlt1  16696  nconstwlpolemgt0  16720