Theorem elfznn 10438

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10407	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10410	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9646	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  1c1 8170   ≤ cle 8351  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  elfz1end  10439  fz1ssnn  10440  fzossnn  10580  nninfdcex  10650  bcm1k  11176  bcpasc  11182  seq3coll  11272  pfxfv0  11442  pfxfvlsw  11445  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  fsum3  12132  isumz  12134  fsumcl2lem  12143  binomlem  12228  arisum2  12244  trireciplem  12245  geo2sum  12259  cvgratnnlemsumlt  12273  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  fprodseq  12328  prod1dc  12331  fzm1ndvds  12601  nnmindc  12789  nnminle  12790  phicl  12971  eulerthlemrprm  12985  prmdivdiv  12993  dvdsfi  12995  odzcllem  12999  odzdvds  13002  modprm0  13011  pcfac  13107  pcbc  13108  1arith  13124  4sqlem13m  13160  4sqlem14  13161  4sqlem17  13164  4sqlem18  13165  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemic  13228  ballotfilem1c  13229  ballotfilemsel1i  13234  ballotfilemsf1o  13235  mulgnngzsum  13907  mulgnn0z  13929  mulgnndir  13931  dvply1  15789  wilthlem1  16008  lgsval2lem  16043  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  lgseisen  16107  lgsquadlemsfi  16108  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  2lgslem1a1  16119  cvgcmp2nlemabs  16986  trilpolemlt1  16995  nconstwlpolemgt0  17019