Theorem elfznn 10332

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10303	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10305	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9545	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  1c1 8076   ≤ cle 8258  ℕcn 9186  ℤcz 9522  ...cfz 10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287

This theorem is referenced by:  elfz1end  10333  fz1ssnn  10334  fzossnn  10473  nninfdcex  10541  bcm1k  11066  bcpasc  11072  seq3coll  11150  pfxfv0  11320  pfxfvlsw  11323  summodclem3  12002  summodclem2a  12003  fsum3  12009  isumz  12011  fsumcl2lem  12020  binomlem  12105  arisum2  12121  trireciplem  12122  geo2sum  12136  cvgratnnlemsumlt  12150  prodmodclem3  12197  prodmodclem2a  12198  fprodseq  12205  prod1dc  12208  fzm1ndvds  12478  nnmindc  12666  nnminle  12667  phicl  12848  eulerthlemrprm  12862  prmdivdiv  12870  dvdsfi  12872  odzcllem  12876  odzdvds  12879  modprm0  12888  pcfac  12984  pcbc  12985  1arith  13001  4sqlem13m  13037  4sqlem14  13038  4sqlem17  13041  4sqlem18  13042  mulgnngsum  13775  mulgnn0z  13797  mulgnndir  13799  dvply1  15556  wilthlem1  15771  lgsval2lem  15806  lgseisenlem1  15866  lgseisenlem2  15867  lgseisenlem3  15868  lgseisenlem4  15869  lgseisen  15870  lgsquadlemsfi  15871  lgsquadlem1  15873  lgsquadlem2  15874  lgsquadlem3  15875  2lgslem1a1  15882  cvgcmp2nlemabs  16741  trilpolemlt1  16750  nconstwlpolemgt0  16774