Theorem elfznn 10471

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10439	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10442	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9672	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  1c1 8181   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  ℤcz 9649  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  elfz1end  10472  fz1ssnn  10473  fzossnn  10613  nninfdcex  10683  bcm1k  11214  bcpasc  11220  seq3coll  11310  pfxfv0  11480  pfxfvlsw  11483  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  fsum3  12173  isumz  12175  fsumcl2lem  12184  binomlem  12269  arisum2  12285  trireciplem  12286  geo2sum  12300  cvgratnnlemsumlt  12314  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  fprodseq  12369  prod1dc  12372  fzm1ndvds  12642  nnmindc  12830  nnminle  12831  phicl  13016  eulerthlemrprm  13030  prmdivdiv  13038  dvdsfi  13040  odzcllem  13044  odzdvds  13047  modprm0  13056  pcfac  13152  pcbc  13153  1arith  13169  4sqlem13m  13205  4sqlem14  13206  4sqlem17  13209  4sqlem18  13210  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemic  13302  ballotfilem1c  13303  ballotfilemsel1i  13308  ballotfilemsf1o  13309  mulgnngzsum  13983  mulgnn0z  14005  mulgnndir  14007  dvply1  15957  birthdaylem2  16187  wilthlem1  16193  prmdvdsfi  16204  prmorcht  16243  pcbcctr  16264  bposlem1  16272  bposlem2  16273  lgsval2lem  16295  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlemsfi  16360  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364  2lgslem1a1  16371  cvgcmp2nlemabs  17247  trilpolemlt1  17257  nconstwlpolemgt0  17281