Theorem elfznn 10476

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10444	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10447	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9676	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  1c1 8186   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  ℤcz 9653  ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428

This theorem is used by:  elfz1end  10477  fz1ssnn  10478  fzossnn  10618  nninfdcex  10688  bcm1k  11219  bcpasc  11225  seq3coll  11315  pfxfv0  11485  pfxfvlsw  11488  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  fsum3  12178  isumz  12180  fsumcl2lem  12189  binomlem  12274  arisum2  12290  trireciplem  12291  geo2sum  12305  cvgratnnlemsumlt  12319  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  fprodseq  12374  prod1dc  12377  fzm1ndvds  12647  nnmindc  12835  nnminle  12836  phicl  13021  eulerthlemrprm  13035  prmdivdiv  13043  dvdsfi  13045  odzcllem  13049  odzdvds  13052  modprm0  13061  pcfac  13157  pcbc  13158  1arith  13174  4sqlem13m  13210  4sqlem14  13211  4sqlem17  13214  4sqlem18  13215  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemic  13307  ballotfilem1c  13308  ballotfilemsel1i  13313  ballotfilemsf1o  13314  mulgnngzsum  13988  mulgnn0z  14010  mulgnndir  14012  dvply1  16008  birthdaylem2  16243  wilthlem1  16249  prmdvdsfi  16260  prmorcht  16299  pcbcctr  16320  bposlem1  16328  bposlem2  16329  lgsval2lem  16351  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlemsfi  16416  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  2lgslem1a1  16427  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemlt1  17314  nconstwlpolemgt0  17338