Theorem elfznn 10175

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10146	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 10148	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 9394	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  1c1 7925   ≤ cle 8107  ℕcn 9035  ℤcz 9371  ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130

This theorem is referenced by:  elfz1end  10176  fz1ssnn  10177  fzossnn  10311  nninfdcex  10378  bcm1k  10903  bcpasc  10909  seq3coll  10985  summodclem3  11662  summodclem2a  11663  fsum3  11669  isumz  11671  fsumcl2lem  11680  binomlem  11765  arisum2  11781  trireciplem  11782  geo2sum  11796  cvgratnnlemsumlt  11810  prodmodclem3  11857  prodmodclem2a  11858  fprodseq  11865  prod1dc  11868  fzm1ndvds  12138  nnmindc  12326  nnminle  12327  phicl  12508  eulerthlemrprm  12522  prmdivdiv  12530  dvdsfi  12532  odzcllem  12536  odzdvds  12539  modprm0  12548  pcfac  12644  pcbc  12645  1arith  12661  4sqlem13m  12697  4sqlem14  12698  4sqlem17  12701  4sqlem18  12702  mulgnngsum  13434  mulgnn0z  13456  mulgnndir  13458  dvply1  15208  wilthlem1  15423  lgsval2lem  15458  lgseisenlem1  15518  lgseisenlem2  15519  lgseisenlem3  15520  lgseisenlem4  15521  lgseisen  15522  lgsquadlemsfi  15523  lgsquadlem1  15525  lgsquadlem2  15526  lgsquadlem3  15527  2lgslem1a1  15534  cvgcmp2nlemabs  15933  trilpolemlt1  15942  nconstwlpolemgt0  15965