Theorem trilpolemcl 16821

Description: Lemma for trilpo 16827. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
2		nnuz 9890	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9604	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
5		oveq2 6058	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
6	5	oveq2d 6066	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
7		fveq2 5670	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
8	6, 7	oveq12d 6068	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
10		2rp 9991	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
12		nnz 9596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	11, 13	rpexpcld 11059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
15	14	rprecred 10041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16		0re 8274	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		eleq1 2295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
20		1re 8273	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		eleq1 2295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
25	24	ffvelcdmda 5812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1})
26		elpri 3712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
28	19, 23, 27	mpjaod 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
29	15, 28	remulcld 8304	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
31	24, 4	trilpolemclim 16820	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 12115	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
33	1, 32	eqeltrid 2319	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cpr 3690   ↦ cmpt 4171  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   · cmul 8132   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  ℤcz 9577  ℝ⁺crp 9986  ↑cexp 10900  Σcsu 12038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-ico 10227  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  16823  trilpolemeq1  16824  trilpolemlt1  16825  trilpo  16827  redcwlpo  16840  nconstwlpolem  16851  neapmkvlem  16853  neapmkv  16854