Theorem trilpolemcl 15768

Description: Lemma for trilpo 15774. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
2		nnuz 9654	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
5		oveq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
6	5	oveq2d 5941	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
7		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
8	6, 7	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
10		2rp 9750	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
12		nnz 9362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	11, 13	rpexpcld 10806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
15	14	rprecred 9800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16		0re 8043	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
20		1re 8042	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
25	24	ffvelcdmda 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1})
26		elpri 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
28	19, 23, 27	mpjaod 719	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
29	15, 28	remulcld 8074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5658	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
31	24, 4	trilpolemclim 15767	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 11611	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
33	1, 32	eqeltrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cpr 3624   ↦ cmpt 4095  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   · cmul 7901   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ℝ⁺crp 9745  ↑cexp 10647  Σcsu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  15770  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772  trilpo  15774  redcwlpo  15786  nconstwlpolem  15796  neapmkvlem  15798  neapmkv  15799