Theorem trilpolemcl 14069

Description: Lemma for trilpo 14075. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
2		nnuz 9522	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9239	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		eqid 2170	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
5		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
6	5	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
7		fveq2 5496	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
8	6, 7	oveq12d 5871	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
9		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
10		2rp 9615	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
12		nnz 9231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	11, 13	rpexpcld 10633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
15	14	rprecred 9665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16		0re 7920	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
18	16, 17	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
20		1re 7919	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
22	20, 21	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
25	24	ffvelrnda 5631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1})
26		elpri 3606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
28	19, 23, 27	mpjaod 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
29	15, 28	remulcld 7950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
31	24, 4	trilpolemclim 14068	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 11392	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
33	1, 32	eqeltrid 2257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cpr 3584   ↦ cmpt 4050  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℤcz 9212  ℝ⁺crp 9610  ↑cexp 10475  Σcsu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  14071  trilpolemeq1  14072  trilpolemlt1  14073  trilpo  14075  redcwlpo  14087  nconstwlpolem  14096  neapmkvlem  14098  neapmkv  14099