Theorem trilpolemcl 17293

Description: Lemma for trilpo 17299. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
2		nnuz 9974	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9682	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
5		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
6	5	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
7		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
8	6, 7	oveq12d 6106	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
10		2rp 10076	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
12		nnz 9674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	11, 13	rpexpcld 11156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
15	14	rprecred 10126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16		0re 8332	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
20		1re 8331	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
25	24	ffvelcdmda 5846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1})
26		elpri 3732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
28	19, 23, 27	mpjaod 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
29	15, 28	remulcld 8362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
31	24, 4	trilpolemclim 17292	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 12221	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
33	1, 32	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   · cmul 8190   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9655  ℝ⁺crp 10071  ↑cexp 10996  Σcsu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  trilpolemgt1  17295  trilpolemeq1  17296  trilpolemlt1  17297  trilpo  17299  redcwlpo  17312  nconstwlpolem  17322  neapmkvlem  17324  neapmkv  17325