Theorem zmaxcl 11721

Description: The maximum of two integers is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
zmaxcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmaxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴)
2		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)
5		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
6	4, 5	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
7		zletric 9478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
8		zre 9438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 9438	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
10		maxclpr 11719	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)))
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)))
12	7, 11	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵})
13		elpri 3689	. . 3 ⊢ (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵} → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ∨ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ∨ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
15	3, 6, 14	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3667   class class class wbr 4082  supcsup 7137  ℝcr 7986   < clt 8169   ≤ cle 8170  ℤcz 9434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496

This theorem is referenced by:  nn0maxcl  11722  fsum3cvg3  11893  plyaddlem1  15406