Theorem prm23lt5 12801

Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23lt5	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12647	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9433	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn0 9399	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6		df-5 9183	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
7	6	breq2i 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8		prmz 12648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9		4z 9487	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
10		zleltp1 9513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
12	11	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
13	7, 12	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
14	13	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15		elfz2nn0 10320	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 4))
16	3, 5, 14, 15	syl3anbrc 1205	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17		fz0to4untppr 10332	. . . 4 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
18	17	eleq2i 2296	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19		elun 3345	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20		eltpi 3713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21		nnne0 9149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22		eqneqall 2410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
23	22	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
24	1, 21, 23	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
25	24	com12 30	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26		eleq1 2292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27		1nprm 12651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
28	27	pm2.21i 649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
29	26, 28	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30		orc 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
31	30	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
32	25, 29, 31	3jaoi 1337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
33	20, 32	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34		elpri 3689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35		olc 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
36	35	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37		eleq1 2292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38		4nprm 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
39	38	pm2.21i 649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
40	37, 39	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
41	36, 40	jaoi 721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
42	34, 41	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
43	33, 42	jaoi 721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
44	19, 43	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
45	44	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
46	45	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
47	18, 46	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
48	16, 47	mpd 13	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ∪ cun 3195  {cpr 3667  {ctp 3668   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   ≤ cle 8193  ℕcn 9121  2c2 9172  3c3 9173  4c4 9174  5c5 9175  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457  ...cfz 10216  ℙcprime 12644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-dvds 12314  df-prm 12645

This theorem is referenced by:  prm23ge5  12802