Theorem prm23lt5 12505

Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23lt5	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12351	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9330	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn0 9296	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6		df-5 9080	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
7	6	breq2i 4051	. . . . 5 ⊢ (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8		prmz 12352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9		4z 9384	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
10		zleltp1 9410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
12	11	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
13	7, 12	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
14	13	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15		elfz2nn0 10216	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 4))
16	3, 5, 14, 15	syl3anbrc 1183	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17		fz0to4untppr 10228	. . . 4 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
18	17	eleq2i 2271	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19		elun 3313	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20		eltpi 3679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21		nnne0 9046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22		eqneqall 2385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
23	22	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
24	1, 21, 23	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
25	24	com12 30	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26		eleq1 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27		1nprm 12355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
28	27	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
29	26, 28	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30		orc 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
31	30	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
32	25, 29, 31	3jaoi 1315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
33	20, 32	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34		elpri 3655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35		olc 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
36	35	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37		eleq1 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38		4nprm 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
39	38	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
40	37, 39	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
41	36, 40	jaoi 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
42	34, 41	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
43	33, 42	jaoi 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
44	19, 43	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
45	44	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
46	45	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
47	18, 46	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
48	16, 47	mpd 13	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375   ∪ cun 3163  {cpr 3633  {ctp 3634   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  0cc0 7907  1c1 7908   + caddc 7910   < clt 8089   ≤ cle 8090  ℕcn 9018  2c2 9069  3c3 9070  4c4 9071  5c5 9072  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354  ...cfz 10112  ℙcprime 12348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-1o 6492  df-2o 6493  df-er 6610  df-en 6818  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-fz 10113  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-dvds 12018  df-prm 12349

This theorem is referenced by:  prm23ge5  12506