Theorem ltm1d 9018

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 8932	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℝcr 7937  1c1 7939   < clt 8120   − cmin 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-sub 8258  df-neg 8259

This theorem is referenced by:  suprzclex  9484  fzsuc2  10214  fzm1  10235  m1modnnsub1  10528  uzsinds  10602  iseqf1olemab  10660  zfz1isolemiso  10997  fsumm1  11777  isumsplit  11852  bitsfzolem  12315  fldivp1  12721  4sqlem12  12775  hovera  15169  ivthdichlem  15173  wilthlem1  15502  lgsval2lem  15537  gausslemma2dlem0c  15578  lgsquadlem1  15604  lgsquadlem2  15605