ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0c GIF version

Theorem gausslemma2dlem0c 15167
Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 15185. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0a.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0c (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0a.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 eldifi 3281 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 gausslemma2dlem0b.h . . . . . 6 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
51, 4gausslemma2dlem0b 15166 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
65nnnn0d 9293 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
73, 6jca 306 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0))
8 prmnn 12248 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9 nnre 8989 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 peano2rem 8286 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 14 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12 2re 9052 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1312a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1413, 9remulcld 8050 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
159ltm1d 8951 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < 𝑃)
16 nnnn0 9247 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1716nn0ge0d 9296 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
18 1le2 9190 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
1918a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
209, 13, 17, 19lemulge12d 8957 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≤ (2 · 𝑃))
2111, 9, 14, 15, 20ltletrd 8442 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃))
22 2pos 9073 . . . . . . . . 9 0 < 2
2312, 22pm3.2i 272 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 9 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 ltdivmul 8895 . . . . . . 7 (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
2611, 9, 24, 25syl3anc 1249 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
2721, 26mpbird 167 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
281, 2, 8, 274syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
294, 28eqbrtrid 4064 . . 3 (𝜑𝐻 < 𝑃)
30 prmndvdsfaclt 12294 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (𝐻 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
317, 29, 30sylc 62 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻))
326faccld 10807 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
3332nnzd 9438 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
34 nnz 9336 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
351, 2, 8, 344syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
3633, 35gcdcomd 12111 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
3736eqeq1d 2202 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
38 coprm 12282 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
393, 33, 38syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
4037, 39bitr4d 191 . 2 (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
4131, 40mpbird 167 1 (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2164  cdif 3150  {csn 3618   class class class wbr 4029  cfv 5254  (class class class)co 5918  cr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   < clt 8054  cle 8055  cmin 8190   / cdiv 8691  cn 8982  2c2 9033  0cn0 9240  cz 9317  !cfa 10796  cdvds 11930   gcd cgcd 12079  cprime 12245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15184
  Copyright terms: Public domain W3C validator