Theorem ltrenn 7868

Description: Ordering of natural numbers with <_N or <_ℝ. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltrenn	⊢ (𝐽 <N 𝐾 → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩)

Distinct variable groups:   𝐽,𝑙   𝑢,𝐽   𝐾,𝑙   𝑢,𝐾

Proof of Theorem ltrenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpi 7337	. . 3 ⊢ <N ⊆ (N × N)
2	1	brel 4690	. 2 ⊢ (𝐽 <N 𝐾 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
3		ltrennb 7867	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N) → (𝐽 <N 𝐾 ↔ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
4	3	biimpd 144	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N) → (𝐽 <N 𝐾 → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
5	2, 4	mpcom 36	1 ⊢ (𝐽 <N 𝐾 → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ <ℝ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2158  {cab 2173  ⟨cop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  1_oc1o 6424  [cec 6547  Ncnpi 7285   <_N clti 7288   ~_Q ceq 7292   <_Q cltq 7298  1_Pc1p 7305   +_P cpp 7306   ~_R cer 7309  0_Rc0r 7311   <_ℝ cltrr 7829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-i1p 7480  df-iplp 7481  df-iltp 7483  df-enr 7739  df-nr 7740  df-ltr 7743  df-0r 7744  df-r 7835  df-lt 7838

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7911