recexprlemdisj - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemdisj 7813

Description: 𝐵 is disjoint. Lemma for recexpr 7821. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemdisj	⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑞,𝑦,𝐴 𝐵,𝑞,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemdisj Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7581	. . . . . 6 ⊢ <_Q Or Q
2		ltrelnq 7548	. . . . . 6 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	son2lpi 5124	. . . . 5 ⊢ ¬ ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
4		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))
5		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))
6	4, 5	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
7		prop 7658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
8		prltlu 7670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
9	7, 8	syl3an1 1304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
10	9	3expb 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
11	6, 10	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
12		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑞)
13		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑞 <_Q 𝑦)
14	1, 2	sotri 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 <_Q 𝑞 ∧ 𝑞 <_Q 𝑦) → 𝑧 <_Q 𝑦)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑦)
16		ltrnqi 7604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 <_Q 𝑦 → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
19	11, 18	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧)))
20	19	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
22	3, 21	mtoi 668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
23	22	alrimivv 1921	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
24		recexpr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
25	24	recexprlemell 7805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
26	24	recexprlemelu 7806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)))
27	25, 26	anbi12i 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))))
28		breq1 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 <_Q 𝑞 ↔ 𝑧 <_Q 𝑞))
29		fveq2 5626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (_Q‘𝑦) = (_Q‘𝑧))
30	29	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴) ↔ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
31	28, 30	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
32	31	cbvexv 1965	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
33	32	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
34	27, 33	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
35		eeanv 1983	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
36	34, 35	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
37	36	notbii 672	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
38		alnex 1545	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
39	38	albii 1516	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
40		alnex 1545	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
41	39, 40	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
42	37, 41	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
43	23, 42	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))
44	43	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ∀wal 1393 = wceq 1395 ∃wex 1538 ∈ wcel 2200 {cab 2215 ∀wral 2508 ⟨cop 3669 class class class wbr 4082 ‘cfv 5317 1^st c1st 6282 2^nd c2nd 6283 Qcnq 7463 *_Qcrq 7467 <_Q cltq 7468 Pcnp 7474

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-eprel 4379 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-irdg 6514 df-1o 6560 df-oadd 6564 df-omul 6565 df-er 6678 df-ec 6680 df-qs 6684 df-ni 7487 df-mi 7489 df-lti 7490 df-mpq 7528 df-enq 7530 df-nqqs 7531 df-mqqs 7533 df-1nqqs 7534 df-rq 7535 df-ltnqqs 7536 df-inp 7649

This theorem is referenced by: recexprlempr 7815

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