recexprlemdisj - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemdisj 7643

Description: 𝐵 is disjoint. Lemma for recexpr 7651. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemdisj	⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑞,𝑦,𝐴 𝐵,𝑞,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemdisj Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7411	. . . . . 6 ⊢ <_Q Or Q
2		ltrelnq 7378	. . . . . 6 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	son2lpi 5037	. . . . 5 ⊢ ¬ ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
4		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))
5		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))
6	4, 5	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
7		prop 7488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
8		prltlu 7500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
9	7, 8	syl3an1 1281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
10	9	3expb 1205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
11	6, 10	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
12		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑞)
13		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑞 <_Q 𝑦)
14	1, 2	sotri 5036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 <_Q 𝑞 ∧ 𝑞 <_Q 𝑦) → 𝑧 <_Q 𝑦)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑦)
16		ltrnqi 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 <_Q 𝑦 → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
19	11, 18	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧)))
20	19	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
22	3, 21	mtoi 665	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
23	22	alrimivv 1885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
24		recexpr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
25	24	recexprlemell 7635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
26	24	recexprlemelu 7636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)))
27	25, 26	anbi12i 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))))
28		breq1 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 <_Q 𝑞 ↔ 𝑧 <_Q 𝑞))
29		fveq2 5527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (_Q‘𝑦) = (_Q‘𝑧))
30	29	eleq1d 2256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴) ↔ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
31	28, 30	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
32	31	cbvexv 1928	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
33	32	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
34	27, 33	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
35		eeanv 1942	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
36	34, 35	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
37	36	notbii 669	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
38		alnex 1509	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
39	38	albii 1480	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
40		alnex 1509	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
41	39, 40	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
42	37, 41	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
43	23, 42	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))
44	43	ralrimiva 2560	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ∀wal 1361 = wceq 1363 ∃wex 1502 ∈ wcel 2158 {cab 2173 ∀wral 2465 ⟨cop 3607 class class class wbr 4015 ‘cfv 5228 1^st c1st 6153 2^nd c2nd 6154 Qcnq 7293 *_Qcrq 7297 <_Q cltq 7298 Pcnp 7304

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-eprel 4301 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-recs 6320 df-irdg 6385 df-1o 6431 df-oadd 6435 df-omul 6436 df-er 6549 df-ec 6551 df-qs 6555 df-ni 7317 df-mi 7319 df-lti 7320 df-mpq 7358 df-enq 7360 df-nqqs 7361 df-mqqs 7363 df-1nqqs 7364 df-rq 7365 df-ltnqqs 7366 df-inp 7479

This theorem is referenced by: recexprlempr 7645

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