recexprlemdisj - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemdisj 7961

Description: 𝐵 is disjoint. Lemma for recexpr 7969. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemdisj	⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑞,𝑦,𝐴 𝐵,𝑞,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemdisj Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7729	. . . . . 6 ⊢ <_Q Or Q
2		ltrelnq 7696	. . . . . 6 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	son2lpi 5164	. . . . 5 ⊢ ¬ ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
4		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))
5		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))
6	4, 5	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
7		prop 7806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
8		prltlu 7818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
9	7, 8	syl3an1 1307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
10	9	3expb 1231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
11	6, 10	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
12		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑞)
13		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑞 <_Q 𝑦)
14	1, 2	sotri 5163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 <_Q 𝑞 ∧ 𝑞 <_Q 𝑦) → 𝑧 <_Q 𝑦)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑦)
16		ltrnqi 7752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 <_Q 𝑦 → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
19	11, 18	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧)))
20	19	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
21	20	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
22	3, 21	mtoi 670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
23	22	alrimivv 1924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
24		recexpr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
25	24	recexprlemell 7953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
26	24	recexprlemelu 7954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)))
27	25, 26	anbi12i 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))))
28		breq1 4117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 <_Q 𝑞 ↔ 𝑧 <_Q 𝑞))
29		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (_Q‘𝑦) = (_Q‘𝑧))
30	29	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴) ↔ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
31	28, 30	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
32	31	cbvexv 1970	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
33	32	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
34	27, 33	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
35		eeanv 1988	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
36	34, 35	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
37	36	notbii 674	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
38		alnex 1548	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
39	38	albii 1519	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
40		alnex 1548	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
41	39, 40	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
42	37, 41	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
43	23, 42	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))
44	43	ralrimiva 2617	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ∀wal 1396 = wceq 1398 ∃wex 1541 ∈ wcel 2205 {cab 2220 ∀wral 2522 ⟨cop 3697 class class class wbr 4114 ‘cfv 5357 1^st c1st 6345 2^nd c2nd 6346 Qcnq 7611 *_Qcrq 7615 <_Q cltq 7616 Pcnp 7622

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-eprel 4415 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-irdg 6614 df-1o 6660 df-oadd 6664 df-omul 6665 df-er 6780 df-ec 6782 df-qs 6786 df-ni 7635 df-mi 7637 df-lti 7638 df-mpq 7676 df-enq 7678 df-nqqs 7679 df-mqqs 7681 df-1nqqs 7682 df-rq 7683 df-ltnqqs 7684 df-inp 7797

This theorem is referenced by: recexprlempr 7963

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