Theorem mvrclfi 15226

Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrcl.s	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrclfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mvrcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mvrclfi	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrclfi

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		mvrclfi.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		mvrcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrcl2fi 15220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	5	ringgrpd 14415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11	9, 10	grpidcl 13892	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14	1, 9, 13, 3, 7	psrelbas 15188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffund 5540	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑉‘𝑋))
16		1nn0 9590	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℕ0)
18		0nn0 9589	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
20	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
22	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
23		fidceq 7177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → DECID 𝑦 = 𝑋)
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → DECID 𝑦 = 𝑋)
25	17, 19, 24	ifcldcd 3678	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 1, 0) ∈ ℕ0)
26	25	fmpttd 5866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
27		nn0ex 9580	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
29	28, 4	elmapd 6941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0))
30	26, 29	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
31		snfig 7109	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
32	30, 31	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
33	30	snssd 3860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
34	1, 9, 4, 3, 7	psrelbasfi 15189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
35	34	fdmd 5543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑉‘𝑋) = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
36	33, 35	sseqtrrd 3287	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ⊆ dom (𝑉‘𝑋))
37	35	difeq1d 3346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑉‘𝑋) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
38	37	imaeq2d 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) “ (dom (𝑉‘𝑋) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) = ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})))
39		fvelima 5757	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun (𝑉‘𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))) → ∃𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = 𝑘)
40	15, 39	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))) → ∃𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = 𝑘)
41		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))) ∧ (𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ∧ ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = 𝑘)) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = 𝑘)
42	13	psrbagfi 15166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
43	4, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
44	43	difeq1d 3346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
45	44	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ 𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})))
46	45	pm5.32i 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})))
47		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
48	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼 ∈ Fin)
49	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
50	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋 ∈ 𝐼)
51		eldifsn 3841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
52	51	bilani 387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
53	52	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
54	2, 13, 10, 47, 48, 49, 50, 53	mvrval2 15216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
55	52	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
56	55	neneqd 2441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
57	56	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
58	54, 57	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
59	46, 58	sylbir 135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
60	59	ad2ant2r 513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))) ∧ (𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ∧ ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = 𝑘)) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
61	41, 60	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))) ∧ (𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ∧ ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 = (0g‘𝑅))
62		velsn 3726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ 𝑘 = (0g‘𝑅))
63	61, 62	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))) ∧ (𝑥 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ∧ ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ∈ {(0g‘𝑅)})
64	40, 63	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))) → 𝑘 ∈ {(0g‘𝑅)})
65	64	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑘 ∈ {(0g‘𝑅)}))
66	65	ssrdv 3254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) “ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) ⊆ {(0g‘𝑅)})
67	38, 66	eqsstrd 3284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) “ (dom (𝑉‘𝑋) ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) ⊆ {(0g‘𝑅)})
68	7, 12, 15, 32, 36, 67	isfsuppfid 7297	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
69		mvrcl.s	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
70		mvrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
71	69, 1, 3, 10, 70	mplelbas 15224	. 2 ⊢ ((𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅)))
72	7, 68, 71	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529  {crab 2532  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ^◡ccnv 4775  dom cdm 4776   “ cima 4779  Fun wfun 5374  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292  0cc0 8185  1c1 8186  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13409  0_gc0g 13668  Grpcgrp 13863  1_rcur 14368  Ringcrg 14406   mPwSer cmps 15153   mVar cmvr 15154   mPoly cmpl 15155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-sca 13505  df-vsca 13506  df-tset 13508  df-rest 13653  df-topn 13654  df-0g 13670  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-mgp 14324  df-ur 14369  df-ring 14408  df-psr 15156  df-mvr 15157  df-mpl 15158

This theorem is used by: (None)