Theorem neg1ap0 9145

Description: -1 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
neg1ap0	⊢ -1 # 0

Proof of Theorem neg1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8663	. 2 ⊢ 1 # 0
2		ax-1cn 8018	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		negap0 8703	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 # 0 ↔ -1 # 0))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1 # 0 ↔ -1 # 0)
5	1, 4	mpbi 145	1 ⊢ -1 # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ℂcc 7923  0cc0 7925  1c1 7926  -cneg 8244   # cap 8654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655

This theorem is referenced by:  m1expcl2  10706  m1expeven  10731  m1expo  12211  m1exp1  12212  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem4  15550  lgseisen  15551  lgsquadlem1  15554  lgsquad2lem1  15558  lgsquad3  15561  m1lgs  15562