Theorem neg1ap0 8936

Description: -1 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
neg1ap0	⊢ -1 # 0

Proof of Theorem neg1ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8459	. 2 ⊢ 1 # 0
2		ax-1cn 7819	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		negap0 8499	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1 # 0 ↔ -1 # 0))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1 # 0 ↔ -1 # 0)
5	1, 4	mpbi 144	1 ⊢ -1 # 0

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ℂcc 7724  0cc0 7726  1c1 7727  -cneg 8041   # cap 8450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-ltxr 7911  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451

This theorem is referenced by:  m1expcl2  10434  m1expeven  10459  m1expo  11783  m1exp1  11784