Theorem lgsquad3 15409

Description: Extend lgsquad2 15408 to integers which share a factor. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Proof of Theorem lgsquad3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		nnz 9362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		lgscl 15339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	zred 9465	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ)
8		absresq 11260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 /L 𝑀) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = ((𝑁 /L 𝑀)↑2))
10	2, 4	gcdcomd 12166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
11		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
12	10, 11	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
13		lgsabs1 15364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
14	2, 4, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝑁 /L 𝑀)) = 1)
16	15	oveq1d 5940	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = (1↑2))
17		sq1 10742	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2245	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝑁 /L 𝑀))↑2) = 1)
19	6	zcnd 9466	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℂ)
20	19	sqvald 10779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 /L 𝑀)↑2) = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
21	9, 18, 20	3eqtr3d 2237	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀)))
22	21	oveq2d 5941	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
23		lgscl 15339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
24	4, 2, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 9466	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) ∈ ℂ)
26	25, 19, 19	mulassd 8067	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((𝑀 /L 𝑁) · ((𝑁 /L 𝑀) · (𝑁 /L 𝑀))))
27	22, 26	eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)))
28	25	mulridd 8060	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · 1) = (𝑀 /L 𝑁))
29		simplll 533	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
30		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
31		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32	29, 30, 1, 31, 11	lgsquad2 15408	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
33	32	oveq1d 5940	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
34	27, 28, 33	3eqtr3d 2237	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
35		neg1cn 9112	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
36	35	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 ∈ ℂ)
37		neg1ap0 9116	. . . . . 6 ⊢ -1 # 0
38	37	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → -1 # 0)
39	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
40		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
41		1zzd 9370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
42		2prm 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℙ
43		nprmdvds1 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∥ 1)
44	42, 43	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
45		omoe 12078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
46	39, 40, 41, 44, 45	syl22anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑀 − 1))
47		2z 9371	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
48		2ne0 9099	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
49		peano2zm 9381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
50	39, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
51		dvdsval2 11972	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
52	47, 48, 50, 51	mp3an12i 1352	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑀 − 1) ↔ ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ))
53	46, 52	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 − 1) / 2) ∈ ℤ)
54		nnz 9362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
55	54	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
58		omoe 12078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
59	56, 57, 41, 44, 58	syl22anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
60		peano2zm 9381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
61	56, 60	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
62		dvdsval2 11972	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
63	47, 48, 61, 62	mp3an12i 1352	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
64	59, 63	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
65	53, 64	zmulcld 9471	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
66	36, 38, 65	expclzapd 10787	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
67	66	mul01d 8436	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0) = 0)
68	54, 3, 5	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ)
69		0zd 9355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
70		zdceq 9418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 /L 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝑁 /L 𝑀) = 0)
71	68, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID (𝑁 /L 𝑀) = 0)
72		lgsne0 15363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑁 gcd 𝑀) = 1))
73		gcdcom 12165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
74	73	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 1 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
75	72, 74	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
76	54, 3, 75	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
77	76	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (DECID (𝑁 /L 𝑀) = 0 → ((𝑁 /L 𝑀) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)))
78	77	necon1bbiddc 2430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (DECID (𝑁 /L 𝑀) = 0 → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0)))
79	71, 78	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
80	79	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 /L 𝑀) = 0))
81	80	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 /L 𝑀) = 0)
82	81	oveq2d 5941	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · 0))
83		0zd 9355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
84		zdceq 9418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 /L 𝑁) = 0)
85	23, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 /L 𝑁) = 0)
86		lgsne0 15363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
87	86	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (DECID (𝑀 /L 𝑁) = 0 → ((𝑀 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)))
88	87	necon1bbiddc 2430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (DECID (𝑀 /L 𝑁) = 0 → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0)))
89	85, 88	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
90	3, 54, 89	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
91	90	ad2ant2r 509	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑀 /L 𝑁) = 0))
92	91	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = 0)
93	67, 82, 92	3eqtr4rd 2240	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))
94		gcdnncl 12159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
95	94	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
96	95	nnzd 9464	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
97		1zzd 9370	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
98		zdceq 9418	. . . 4 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
99	96, 97, 98	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → DECID (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
100		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∨ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
101	99, 100	syl 14	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∨ ¬ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
102	34, 93, 101	mpjaodan 799	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑀 /L 𝑁) = ((-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) · (𝑁 /L 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   · cmul 7901   − cmin 8214  -cneg 8215   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ↑cexp 10647  abscabs 11179   ∥ cdvds 11969   gcd cgcd 12145  ℙcprime 12300   /_L clgs 15322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-proddc 11733  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-phi 12404  df-pc 12479  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-igsum 12961  df-topgen 12962  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-submnd 13162  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-rng 13565  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-cring 13631  df-oppr 13700  df-dvdsr 13721  df-unit 13722  df-invr 13753  df-dvr 13764  df-rhm 13784  df-nzr 13812  df-subrg 13851  df-domn 13891  df-idom 13892  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-lsp 14019  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-lidl 14101  df-rsp 14102  df-2idl 14132  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223  df-zrh 14246  df-zn 14248  df-lgs 15323

This theorem is referenced by: (None)