Theorem nn0fz0 10271

Description: A nonnegative integer is always part of the finite set of sequential nonnegative integers with this integer as upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0fz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem nn0fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0re 9334	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	leidd 8617	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
4		fznn0 10265	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 947	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6		elfz3nn0 10267	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  0cc0 7955   ≤ cle 8138  ℕ₀cn0 9325  ...cfz 10160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161

This theorem is referenced by:  swrdrlen  11147  pfxid  11172  pfxccat1  11188  pfxpfxid  11195  pfxcctswrd  11196