Theorem crngridl 14086

Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng2idl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngridl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng2idl.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		crngridl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	opprbasg 13631	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
6		ssv 3205	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
8		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	3, 8	oppraddg 13632	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 5950	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
12		mulrslid 12809	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
13	12	slotex 12705	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑅) ∈ V)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘𝑅) ∈ V)
15		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
16		ovexg 5956	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (.r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
18		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
20	4, 18, 3, 19	crngoppr 13628	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
21	20	3expb 1206	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
22		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
23	3	opprex 13629	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ V)
24	2, 5, 7, 10, 17, 21, 22, 23	lidlrsppropdg 14051	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
25	24	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
26	1, 25	eqtrid 2241	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  CRingccrg 13553  opp_rcoppr 13623  LIdealclidl 14023  RSpancrsp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-tpos 6303  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-rsp 14026

This theorem is referenced by:  crng2idl  14087