Theorem crngridl 14811

Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng2idl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngridl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng2idl.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2		eqidd 2235	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		crngridl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	opprbasg 14325	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
6		ssv 3264	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
8		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	3, 8	oppraddg 14326	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 6088	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
12		mulrslid 13435	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
13	12	slotex 13329	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑅) ∈ V)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘𝑅) ∈ V)
15		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
16		ovexg 6094	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (.r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
18		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
20	4, 18, 3, 19	crngoppr 14322	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
21	20	3expb 1231	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
22		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
23	3	opprex 14323	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ V)
24	2, 5, 7, 10, 17, 21, 22, 23	lidlrsppropdg 14776	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
25	24	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
26	1, 25	eqtrid 2279	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  Basecbs 13302  +_gcplusg 13380  ._rcmulr 13381  CRingccrg 14247  opp_rcoppr 14317  LIdealclidl 14748  RSpancrsp 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-tpos 6491  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-iress 13310  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-sca 13396  df-vsca 13397  df-ip 13398  df-cmn 14038  df-mgp 14167  df-cring 14249  df-oppr 14318  df-lssm 14634  df-lsp 14668  df-sra 14716  df-rgmod 14717  df-lidl 14750  df-rsp 14751

This theorem is referenced by:  crng2idl  14812