Theorem crngridl 14367

Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng2idl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngridl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng2idl.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2		eqidd 2207	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		crngridl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	opprbasg 13912	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
6		ssv 3219	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
8		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	3, 8	oppraddg 13913	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 5985	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
12		mulrslid 13039	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
13	12	slotex 12934	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑅) ∈ V)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘𝑅) ∈ V)
15		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
16		ovexg 5991	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (.r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
18		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
20	4, 18, 3, 19	crngoppr 13909	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
21	20	3expb 1207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
22		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
23	3	opprex 13910	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ V)
24	2, 5, 7, 10, 17, 21, 22, 23	lidlrsppropdg 14332	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
25	24	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
26	1, 25	eqtrid 2251	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  CRingccrg 13834  opp_rcoppr 13904  LIdealclidl 14304  RSpancrsp 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-tpos 6344  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-cmn 13697  df-mgp 13758  df-cring 13836  df-oppr 13905  df-lssm 14190  df-lsp 14224  df-sra 14272  df-rgmod 14273  df-lidl 14306  df-rsp 14307

This theorem is referenced by:  crng2idl  14368