Theorem crngridl 14029

Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng2idl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngridl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng2idl.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		crngridl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	opprbasg 13574	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
6		ssv 3202	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
8		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	3, 8	oppraddg 13575	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 5947	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
12		mulrslid 12752	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
13	12	slotex 12648	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.r‘𝑅) ∈ V)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (.r‘𝑅) ∈ V)
15		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
16		ovexg 5953	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (.r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
18		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
20	4, 18, 3, 19	crngoppr 13571	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
21	20	3expb 1206	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
22		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
23	3	opprex 13572	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ V)
24	2, 5, 7, 10, 17, 21, 22, 23	lidlrsppropdg 13994	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
25	24	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
26	1, 25	eqtrid 2238	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  CRingccrg 13496  opp_rcoppr 13566  LIdealclidl 13966  RSpancrsp 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-tpos 6300  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-cmn 13359  df-mgp 13420  df-cring 13498  df-oppr 13567  df-lssm 13852  df-lsp 13886  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968  df-rsp 13969

This theorem is referenced by:  crng2idl  14030