Theorem psrbagleadd1fi 15179

Description: The analogue of "𝑋 ≤ 𝐹 implies 𝑋 + 𝐺 ≤ 𝐹 + 𝐺 " (compare leadd1d 8875) for bags. (Contributed by SN, 2-May-2025.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagleadd1fi.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
psrbagleadd1fi.t	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑧 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)}
psrbagleadd1fi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrbagleadd1fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrbagleadd1fi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
psrbagleadd1fi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
psrbagleadd1fi	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧)   𝑆(𝑦, 𝑧)   𝑇(𝑦, 𝑧)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem psrbagleadd1fi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagleadd1fi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
2		elrabi 2979	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
3		psrbagleadd1fi.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹}
4	2, 3	eleq2s 2333	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
5	1, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
6		psrbagleadd1fi.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
7		psrbagleadd1fi.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		psrbagaddclfi 15178	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
10		elmapi 6949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	5, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
12	11	ffvelcdmda 5846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 9631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
14		psrbagleadd1fi.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
15		elmapi 6949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
17	16	ffvelcdmda 5846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 9631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19		elmapi 6949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
20	6, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
21	20	ffvelcdmda 5846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 9631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
23		breq1 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘𝑟 ≤ 𝐹))
24	23, 3	elrab2 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 ∘𝑟 ≤ 𝐹))
25	24	simprbi 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
26	1, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
27	10	ffnd 5537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐼)
29	16	ffnd 5537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
30		inidm 3440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
31		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
32		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
33	28, 29, 7, 7, 30, 31, 32	ofrfval 6315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥)))
34	26, 33	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
35	34	r19.21bi 2638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
36	13, 18, 22, 35	leadd1dd 8895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
37	36	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
38		elmapi 6949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
39	9, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
40	39	ffnd 5537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) Fn 𝐼)
41		psrbagaddclfi 15178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
42	14, 6, 7, 41	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
43		elmapi 6949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
45	44	ffnd 5537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) Fn 𝐼)
46	20	ffnd 5537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
47		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
48	12, 21	nn0addcld 9634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0)
49	28, 46, 7, 7, 30, 31, 47, 48	ofvalg 6316	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
50	17, 21	nn0addcld 9634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ∈ ℕ0)
51	29, 46, 7, 7, 30, 32, 47, 50	ofvalg 6316	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
52	40, 45, 7, 7, 30, 49, 51	ofrfval 6315	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑋‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
53	37, 52	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))
54		breq1 4134	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) → (𝑧 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ↔ (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
55		psrbagleadd1fi.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑧 ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)}
56	54, 55	elrab2 2985	. 2 ⊢ ((𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑟 ≤ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
57	9, 53, 56	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   class class class wbr 4131   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   + caddc 8189   ≤ cle 8368  ℕ₀cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-map 6929  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-inn 9315  df-n0 9576

This theorem is used by: (None)