Theorem ringsubdir 13819

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 8458 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ringsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringgrp 13763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringsubdi.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ringsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2205	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
8	6, 7	grpinvcl 13380	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	4, 5, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		ringsubdi.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12		ringsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	6, 11, 12	ringdir 13781	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
14	1, 2, 9, 10, 13	syl13anc 1252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
15	6, 12, 7, 1, 5, 10	ringmneg1 13815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
16	15	oveq2d 5960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
17	14, 16	eqtrd 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
18		ringsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
19	6, 11, 7, 18	grpsubval 13378	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
20	2, 5, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
21	20	oveq1d 5959	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
22	6, 12	ringcl 13775	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23	1, 2, 10, 22	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
24	6, 12	ringcl 13775	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	1, 5, 10, 24	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
26	6, 11, 7, 18	grpsubval 13378	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
28	17, 21, 27	3eqtr4d 2248	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  Basecbs 12832  +_gcplusg 12909  ._rcmulr 12910  Grpcgrp 13332  inv_gcminusg 13333  -_gcsg 13334  Ringcrg 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760

This theorem is referenced by: (None)