![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 0even | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
2zrng.e | โข ๐ธ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} |
Ref | Expression |
---|---|
0even | โข 0 โ ๐ธ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0z 12573 | . . 3 โข 0 โ โค | |
2 | 2cn 12291 | . . . 4 โข 2 โ โ | |
3 | 0zd 12574 | . . . . 5 โข (2 โ โ โ 0 โ โค) | |
4 | oveq2 7419 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = 0 โ (2 ยท ๐ฅ) = (2 ยท 0)) | |
5 | 4 | eqeq2d 2741 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = 0 โ (0 = (2 ยท ๐ฅ) โ 0 = (2 ยท 0))) |
6 | 5 | adantl 480 | . . . . 5 โข ((2 โ โ โง ๐ฅ = 0) โ (0 = (2 ยท ๐ฅ) โ 0 = (2 ยท 0))) |
7 | mul01 11397 | . . . . . 6 โข (2 โ โ โ (2 ยท 0) = 0) | |
8 | 7 | eqcomd 2736 | . . . . 5 โข (2 โ โ โ 0 = (2 ยท 0)) |
9 | 3, 6, 8 | rspcedvd 3613 | . . . 4 โข (2 โ โ โ โ๐ฅ โ โค 0 = (2 ยท ๐ฅ)) |
10 | 2, 9 | ax-mp 5 | . . 3 โข โ๐ฅ โ โค 0 = (2 ยท ๐ฅ) |
11 | eqeq1 2734 | . . . . 5 โข (๐ง = 0 โ (๐ง = (2 ยท ๐ฅ) โ 0 = (2 ยท ๐ฅ))) | |
12 | 11 | rexbidv 3176 | . . . 4 โข (๐ง = 0 โ (โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ) โ โ๐ฅ โ โค 0 = (2 ยท ๐ฅ))) |
13 | 12 | elrab 3682 | . . 3 โข (0 โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} โ (0 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 0 = (2 ยท ๐ฅ))) |
14 | 1, 10, 13 | mpbir2an 707 | . 2 โข 0 โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} |
15 | 2zrng.e | . 2 โข ๐ธ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} | |
16 | 14, 15 | eleqtrri 2830 | 1 โข 0 โ ๐ธ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1539 โ wcel 2104 โwrex 3068 {crab 3430 (class class class)co 7411 โcc 11110 0cc0 11112 ยท cmul 11117 2c2 12271 โคcz 12562 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7414 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-ltxr 11257 df-neg 11451 df-2 12279 df-z 12563 |
This theorem is referenced by: 2zlidl 46920 2zrng0 46924 2zrngamnd 46927 2zrngacmnd 46928 2zrngmmgm 46932 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |