Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0even Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0even 46917
Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
Assertion
Ref Expression
0even 0 โˆˆ ๐ธ
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 0even
StepHypRef Expression
1 0z 12573 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
2 2cn 12291 . . . 4 2 โˆˆ โ„‚
3 0zd 12574 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
4 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท 0))
54eqeq2d 2741 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (0 = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” 0 = (2 ยท 0)))
65adantl 480 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (0 = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” 0 = (2 ยท 0)))
7 mul01 11397 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท 0) = 0)
87eqcomd 2736 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 = (2 ยท 0))
93, 6, 8rspcedvd 3613 . . . 4 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = (2 ยท ๐‘ฅ))
102, 9ax-mp 5 . . 3 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = (2 ยท ๐‘ฅ)
11 eqeq1 2734 . . . . 5 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” 0 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1211rexbidv 3176 . . . 4 (๐‘ง = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1312elrab 3682 . . 3 (0 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
141, 10, 13mpbir2an 707 . 2 0 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
15 2zrng.e . 2 ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
1614, 15eleqtrri 2830 1 0 โˆˆ ๐ธ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  {crab 3430  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117  2c2 12271  โ„คcz 12562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-neg 11451  df-2 12279  df-z 12563
This theorem is referenced by:  2zlidl  46920  2zrng0  46924  2zrngamnd  46927  2zrngacmnd  46928  2zrngmmgm  46932
  Copyright terms: Public domain W3C validator