Theorem 0even 45377

Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
0even	⊢ 0 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		2cn 11978	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		0zd 12261	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5	4	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
7		mul01 11084	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
8	7	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3555	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3225	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3617	. . 3 ⊢ (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 707	. 2 ⊢ 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2838	1 ⊢ 0 ∈ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807  2c2 11958  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-neg 11138  df-2 11966  df-z 12250

This theorem is referenced by:  2zlidl  45380  2zrng0  45384  2zrngamnd  45387  2zrngacmnd  45388  2zrngmmgm  45392