Theorem 0even 48081

Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
0even	⊢ 0 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12622	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		2cn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		0zd 12623	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5	4	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
7		mul01 11438	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
8	7	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3624	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3177	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3695	. . 3 ⊢ (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2838	1 ⊢ 0 ∈ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {crab 3433  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  2c2 12319  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-neg 11493  df-2 12327  df-z 12612

This theorem is referenced by:  2zlidl  48084  2zrng0  48088  2zrngamnd  48091  2zrngacmnd  48092  2zrngmmgm  48096