Theorem 0even 49153

Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
0even	⊢ 0 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 0even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12627	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		2cn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		0zd 12628	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5	4	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
7		mul01 11414	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
8	7	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3578	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3645	. . 3 ⊢ (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2859	1 ⊢ 0 ∈ 𝐸

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125   · cmul 11130  2c2 12320  ℤcz 12616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-neg 11469  df-2 12328  df-z 12617

This theorem is used by:  2zlidl  49156  2zrng0  49160  2zrngamnd  49163  2zrngacmnd  49164  2zrngmmgm  49168