Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0even Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0even 44347
Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
0even 0 ∈ 𝐸
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0even
StepHypRef Expression
1 0z 11971 . . 3 0 ∈ ℤ
2 2cn 11691 . . . 4 2 ∈ ℂ
3 0zd 11972 . . . . 5 (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
54eqeq2d 2831 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
65adantl 484 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
7 mul01 10797 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
87eqcomd 2826 . . . . 5 (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
93, 6, 8rspcedvd 3605 . . . 4 (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
102, 9ax-mp 5 . . 3 𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
11 eqeq1 2824 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
1211rexbidv 3284 . . . 4 (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
1312elrab 3660 . . 3 (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
141, 10, 13mpbir2an 709 . 2 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15 2zrng.e . 2 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
1614, 15eleqtrri 2910 1 0 ∈ 𝐸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208   = wceq 1537  wcel 2114  wrex 3126  {crab 3129  (class class class)co 7133  cc 10513  0cc0 10515   · cmul 10520  2c2 11671  cz 11960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-neg 10851  df-2 11679  df-z 11961
This theorem is referenced by:  2zlidl  44350  2zrng0  44354  2zrngamnd  44357  2zrngacmnd  44358  2zrngmmgm  44362
  Copyright terms: Public domain W3C validator