2zlidl - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2zlidl 48728

Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zlidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)

**Assertion**
Ref	Expression
2zlidl	⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Distinct variable group: 𝑥,𝑧 Allowed substitution hints: 𝑈(𝑥,𝑧) 𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zlidl Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		ssrab2 4021	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3969	. 2 ⊢ 𝐸 ⊆ ℤ
4	1	0even 48725	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5	4	ne0ii 4285	. 2 ⊢ 𝐸 ≠ ∅
6		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
7	6	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
8	7, 1	elrab2 3638	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐸 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
9		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
10	9	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
11	10, 1	elrab2 3638	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐸 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
12	8, 11	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))))
13		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑖 ∈ ℤ)
14		simprll 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑗 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
16		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
19	15, 18	zaddcld 12628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ)
20		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑎))
21	20	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑎)))
22	21	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎))
23		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑏))
24	23	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑏)))
25	24	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
29	26, 28	zmulcld 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℤ)
30		simp-4l 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
31	29, 30	zaddcld 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) ∈ ℤ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
33	32	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
34	33	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑖 · (2 · 𝑎)))
35		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (2 · 𝑏))
36	34, 35	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
38		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) → (2 · 𝑥) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
39	37, 38	eqeqan12d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) → (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏))))
40		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
42		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
43		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
45	44	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
47	41, 42, 46	mul12d 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · (2 · 𝑎)) = (2 · (𝑖 · 𝑎)))
48	47	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
49	41, 46	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℂ)
50		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
51	50	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	42, 49, 51	adddid 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
53	48, 52	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
54	31, 39, 53	rspcedvd 3567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
55	54	exp41 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
56	55	rexlimiva 3131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
57	25, 56	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
58	57	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
59	58	expdcom 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
60	59	rexlimiva 3131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
61	22, 60	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
62	61	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
63	62	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
64	63	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
65		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
66	65	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
67	66, 1	elrab2 3638	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
68	19, 64, 67	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
69	12, 68	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
70	69	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
71	70	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸
72		2zlidl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)
73		zringbas 21443	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤ_ring)
74		zringplusg 21444	. . 3 ⊢ + = (+_g‘ℤ_ring)
75		zringmulr 21447	. . 3 ⊢ · = (._r‘ℤ_ring)
76	72, 73, 74, 75	islidl 21205	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑈 ↔ (𝐸 ⊆ ℤ ∧ 𝐸 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸))
77	3, 5, 71, 76	mpbir3an 1343	1 ⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 ∃wrex 3062 {crab 3390 ⊆ wss 3890 ∅c0 4274 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 0cc0 11029 + caddc 11032 · cmul 11034 2c2 12227 ℤcz 12515 LIdealclidl 21196 ℤ_ringczring 21436

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-addf 11108 ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-fz 13453 df-struct 17108 df-sets 17125 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-ress 17192 df-plusg 17224 df-mulr 17225 df-starv 17226 df-sca 17227 df-vsca 17228 df-ip 17229 df-tset 17230 df-ple 17231 df-ds 17233 df-unif 17234 df-lss 20918 df-sra 21160 df-rgmod 21161 df-lidl 21198 df-cnfld 21345 df-zring 21437

This theorem is referenced by: 2zrng 48729

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