Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zlidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zlidl 46832
Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑧 = (2 Β· π‘₯)}
2zlidl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜β„€ring)
Assertion
Ref Expression
2zlidl 𝐸 ∈ π‘ˆ
Distinct variable group:   π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑧)   𝐸(π‘₯,𝑧)

Proof of Theorem 2zlidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑧 = (2 Β· π‘₯)}
2 ssrab2 4078 . . 3 {𝑧 ∈ β„€ ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑧 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„€
31, 2eqsstri 4017 . 2 𝐸 βŠ† β„€
410even 46829 . . 3 0 ∈ 𝐸
54ne0ii 4338 . 2 𝐸 β‰  βˆ…
6 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑗 β†’ (𝑧 = (2 Β· π‘₯) ↔ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)))
76rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑗 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑧 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)))
87, 1elrab2 3687 . . . . . 6 (𝑗 ∈ 𝐸 ↔ (𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)))
9 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘˜ β†’ (𝑧 = (2 Β· π‘₯) ↔ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))
109rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑧 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))
1110, 1elrab2 3687 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐸 ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))
128, 11anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑗 ∈ 𝐸 ∧ π‘˜ ∈ 𝐸) ↔ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯))))
13 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
14 simprll 778 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1513, 14zmulcld 12672 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„€)
16 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1716adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1817adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1915, 18zaddcld 12670 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ β„€)
20 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· π‘Ž))
2120eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (𝑗 = (2 Β· π‘₯) ↔ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)))
2221cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž))
23 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑏))
2423eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘˜ = (2 Β· π‘₯) ↔ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)))
2524cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· 𝑏))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
27 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
2926, 28zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (𝑖 Β· π‘Ž) ∈ β„€)
30 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
3129, 30zaddcld 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ ((𝑖 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ β„€)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) β†’ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž))
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) β†’ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž))
3433oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) = (𝑖 Β· (2 Β· π‘Ž)))
35 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) β†’ π‘˜ = (2 Β· 𝑏))
3634, 35oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = ((𝑖 Β· (2 Β· π‘Ž)) + (2 Β· 𝑏)))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = ((𝑖 Β· (2 Β· π‘Ž)) + (2 Β· 𝑏)))
38 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = ((𝑖 Β· π‘Ž) + 𝑏) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· ((𝑖 Β· π‘Ž) + 𝑏)))
3937, 38eqeqan12d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) ∧ π‘₯ = ((𝑖 Β· π‘Ž) + 𝑏)) β†’ (((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯) ↔ ((𝑖 Β· (2 Β· π‘Ž)) + (2 Β· 𝑏)) = (2 Β· ((𝑖 Β· π‘Ž) + 𝑏))))
40 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ β„€ β†’ 𝑖 ∈ β„‚)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ 𝑖 ∈ β„‚)
42 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ 2 ∈ β„‚)
43 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž ∈ β„€ β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
4741, 42, 46mul12d 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (𝑖 Β· (2 Β· π‘Ž)) = (2 Β· (𝑖 Β· π‘Ž)))
4847oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ ((𝑖 Β· (2 Β· π‘Ž)) + (2 Β· 𝑏)) = ((2 Β· (𝑖 Β· π‘Ž)) + (2 Β· 𝑏)))
4941, 46mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (𝑖 Β· π‘Ž) ∈ β„‚)
50 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ β„€ β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
5150ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
5242, 49, 51adddid 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (2 Β· ((𝑖 Β· π‘Ž) + 𝑏)) = ((2 Β· (𝑖 Β· π‘Ž)) + (2 Β· 𝑏)))
5348, 52eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ ((𝑖 Β· (2 Β· π‘Ž)) + (2 Β· 𝑏)) = (2 Β· ((𝑖 Β· π‘Ž) + 𝑏)))
5431, 39, 53rspcedvd 3615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€)) ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯))
5554exp41 436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ β„€ ∧ π‘˜ = (2 Β· 𝑏)) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))))
5655rexlimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· 𝑏) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))))
5725, 56sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))))
5857impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)) β†’ (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯))))
5958expdcom 416 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž)) β†’ (𝑗 ∈ β„€ β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))))
6059rexlimiva 3148 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘Ž) β†’ (𝑗 ∈ β„€ β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))))
6122, 60sylbi 216 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯) β†’ (𝑗 ∈ β„€ β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))))
6261impcom 409 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯))))
6362imp 408 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯))) β†’ (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))
6463impcom 409 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯))
65 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) β†’ (𝑧 = (2 Β· π‘₯) ↔ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))
6665rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑧 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))
6766, 1elrab2 3687 . . . . . 6 (((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ 𝐸 ↔ (((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) = (2 Β· π‘₯)))
6819, 64, 67sylanbrc 584 . . . . 5 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑗 = (2 Β· π‘₯)) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ π‘˜ = (2 Β· π‘₯)))) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ 𝐸)
6912, 68sylan2b 595 . . . 4 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ (𝑗 ∈ 𝐸 ∧ π‘˜ ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ 𝐸)
7069ralrimivva 3201 . . 3 (𝑖 ∈ β„€ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐸 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐸 ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ 𝐸)
7170rgen 3064 . 2 βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘— ∈ 𝐸 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐸 ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ 𝐸
72 2zlidl.u . . 3 π‘ˆ = (LIdealβ€˜β„€ring)
73 zringbas 21023 . . 3 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
74 zringplusg 21024 . . 3 + = (+gβ€˜β„€ring)
75 zringmulr 21027 . . 3 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
7672, 73, 74, 75islidl 20834 . 2 (𝐸 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐸 βŠ† β„€ ∧ 𝐸 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ β„€ βˆ€π‘— ∈ 𝐸 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐸 ((𝑖 Β· 𝑗) + π‘˜) ∈ 𝐸))
773, 5, 71, 76mpbir3an 1342 1 𝐸 ∈ π‘ˆ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115  2c2 12267  β„€cz 12558  LIdealclidl 20783  β„€ringczring 21017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-cnfld 20945  df-zring 21018
This theorem is referenced by:  2zrng  46833
  Copyright terms: Public domain W3C validator