2zlidl - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2zlidl 45444

Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zlidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)

**Assertion**
Ref	Expression
2zlidl	⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Distinct variable group: 𝑥,𝑧 Allowed substitution hints: 𝑈(𝑥,𝑧) 𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zlidl Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		ssrab2 4017	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3959	. 2 ⊢ 𝐸 ⊆ ℤ
4	1	0even 45441	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5	4	ne0ii 4276	. 2 ⊢ 𝐸 ≠ ∅
6		eqeq1 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
7	6	rexbidv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
8	7, 1	elrab2 3628	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐸 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
9		eqeq1 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
10	9	rexbidv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
11	10, 1	elrab2 3628	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐸 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
12	8, 11	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))))
13		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑖 ∈ ℤ)
14		simprll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑗 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
16		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
19	15, 18	zaddcld 12412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ)
20		oveq2 7276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑎))
21	20	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑎)))
22	21	cbvrexvw 3381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎))
23		oveq2 7276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑏))
24	23	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑏)))
25	24	cbvrexvw 3381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		simprll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
29	26, 28	zmulcld 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℤ)
30		simp-4l 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
31	29, 30	zaddcld 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) ∈ ℤ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
33	32	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
34	33	oveq2d 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑖 · (2 · 𝑎)))
35		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (2 · 𝑏))
36	34, 35	oveq12d 7286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
38		oveq2 7276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) → (2 · 𝑥) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
39	37, 38	eqeqan12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) → (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏))))
40		zcn 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
42		2cnd 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
43		zcn 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
45	44	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
47	41, 42, 46	mul12d 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · (2 · 𝑎)) = (2 · (𝑖 · 𝑎)))
48	47	oveq1d 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
49	41, 46	mulcld 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℂ)
50		zcn 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
51	50	ad4antr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	42, 49, 51	adddid 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
53	48, 52	eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
54	31, 39, 53	rspcedvd 3563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
55	54	exp41 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
56	55	rexlimiva 3211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
57	25, 56	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
58	57	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
59	58	expdcom 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
60	59	rexlimiva 3211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
61	22, 60	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
62	61	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
63	62	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
64	63	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
65		eqeq1 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
66	65	rexbidv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
67	66, 1	elrab2 3628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
68	19, 64, 67	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
69	12, 68	sylan2b 593	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
70	69	ralrimivva 3116	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
71	70	rgen 3075	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸
72		2zlidl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)
73		zringbas 20657	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤ_ring)
74		zringplusg 20658	. . 3 ⊢ + = (+_g‘ℤ_ring)
75		zringmulr 20660	. . 3 ⊢ · = (._r‘ℤ_ring)
76	72, 73, 74, 75	islidl 20463	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑈 ↔ (𝐸 ⊆ ℤ ∧ 𝐸 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸))
77	3, 5, 71, 76	mpbir3an 1339	1 ⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2944 ∀wral 3065 ∃wrex 3066 {crab 3069 ⊆ wss 3891 ∅c0 4261 ‘cfv 6430 (class class class)co 7268 ℂcc 10853 0cc0 10855 + caddc 10858 · cmul 10860 2c2 12011 ℤcz 12302 LIdealclidl 20413 ℤ_ringczring 20651

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1801 ax-4 1815 ax-5 1916 ax-6 1974 ax-7 2014 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2140 ax-11 2157 ax-12 2174 ax-ext 2710 ax-rep 5213 ax-sep 5226 ax-nul 5233 ax-pow 5291 ax-pr 5355 ax-un 7579 ax-cnex 10911 ax-resscn 10912 ax-1cn 10913 ax-icn 10914 ax-addcl 10915 ax-addrcl 10916 ax-mulcl 10917 ax-mulrcl 10918 ax-mulcom 10919 ax-addass 10920 ax-mulass 10921 ax-distr 10922 ax-i2m1 10923 ax-1ne0 10924 ax-1rid 10925 ax-rnegex 10926 ax-rrecex 10927 ax-cnre 10928 ax-pre-lttri 10929 ax-pre-lttrn 10930 ax-pre-ltadd 10931 ax-pre-mulgt0 10932 ax-addf 10934 ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1786 df-nf 1790 df-sb 2071 df-mo 2541 df-eu 2570 df-clab 2717 df-cleq 2731 df-clel 2817 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3070 df-rex 3071 df-reu 3072 df-rab 3074 df-v 3432 df-sbc 3720 df-csb 3837 df-dif 3894 df-un 3896 df-in 3898 df-ss 3908 df-pss 3910 df-nul 4262 df-if 4465 df-pw 4540 df-sn 4567 df-pr 4569 df-tp 4571 df-op 4573 df-uni 4845 df-iun 4931 df-br 5079 df-opab 5141 df-mpt 5162 df-tr 5196 df-id 5488 df-eprel 5494 df-po 5502 df-so 5503 df-fr 5543 df-we 5545 df-xp 5594 df-rel 5595 df-cnv 5596 df-co 5597 df-dm 5598 df-rn 5599 df-res 5600 df-ima 5601 df-pred 6199 df-ord 6266 df-on 6267 df-lim 6268 df-suc 6269 df-iota 6388 df-fun 6432 df-fn 6433 df-f 6434 df-f1 6435 df-fo 6436 df-f1o 6437 df-fv 6438 df-riota 7225 df-ov 7271 df-oprab 7272 df-mpo 7273 df-om 7701 df-1st 7817 df-2nd 7818 df-frecs 8081 df-wrecs 8112 df-recs 8186 df-rdg 8225 df-1o 8281 df-er 8472 df-en 8708 df-dom 8709 df-sdom 8710 df-fin 8711 df-pnf 10995 df-mnf 10996 df-xr 10997 df-ltxr 10998 df-le 10999 df-sub 11190 df-neg 11191 df-nn 11957 df-2 12019 df-3 12020 df-4 12021 df-5 12022 df-6 12023 df-7 12024 df-8 12025 df-9 12026 df-n0 12217 df-z 12303 df-dec 12420 df-uz 12565 df-fz 13222 df-struct 16829 df-sets 16846 df-slot 16864 df-ndx 16876 df-base 16894 df-ress 16923 df-plusg 16956 df-mulr 16957 df-starv 16958 df-sca 16959 df-vsca 16960 df-ip 16961 df-tset 16962 df-ple 16963 df-ds 16965 df-unif 16966 df-lss 20175 df-sra 20415 df-rgmod 20416 df-lidl 20417 df-cnfld 20579 df-zring 20652

This theorem is referenced by: 2zrng 45445

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