2zlidl - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2zlidl 49542

Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zlidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)

**Assertion**
Ref	Expression
2zlidl	⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Distinct variable group: 𝑥,𝑧 Allowed substitution hints: 𝑈(𝑥, 𝑧) 𝐸(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2zlidl Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		ssrab2 4008	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3959	. 2 ⊢ 𝐸 ⊆ ℤ
4	1	0even 49539	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5	4	ne0ii 4293	. 2 ⊢ 𝐸 ≠ ∅
6		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
7	6	rexbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
8	7, 1	elrab2 3652	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐸 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
9		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
10	9	rexbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
11	10, 1	elrab2 3652	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐸 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
12	8, 11	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))))
13		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑖 ∈ ℤ)
14		simprll 791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑗 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
16		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
19	15, 18	zaddcld 12834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ)
20		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑎))
21	20	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑎)))
22	21	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎))
23		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑏))
24	23	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑏)))
25	24	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏))
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
29	26, 28	zmulcld 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℤ)
30		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
31	29, 30	zaddcld 12834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) ∈ ℤ)
32		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
33	32	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
34	33	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑖 · (2 · 𝑎)))
35		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (2 · 𝑏))
36	34, 35	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
38		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) → (2 · 𝑥) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
39	37, 38	eqeqan12d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) → (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏))))
40		zcn 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
42		2cnd 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
43		zcn 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
45	44	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
47	41, 42, 46	mul12d 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · (2 · 𝑎)) = (2 · (𝑖 · 𝑎)))
48	47	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
49	41, 46	mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℂ)
50		zcn 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
51	50	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	42, 49, 51	adddid 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
53	48, 52	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
54	31, 39, 53	rspcedvd 3582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
55	54	exp41 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
56	55	rexlimiva 3159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
57	25, 56	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
58	57	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
59	58	expdcom 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
60	59	rexlimiva 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
61	22, 60	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
62	61	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
63	62	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
64	63	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
65		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
66	65	rexbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
67	66, 1	elrab2 3652	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
68	19, 64, 67	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
69	12, 68	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
70	69	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
71	70	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸
72		2zlidl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)
73		zringbas 21789	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤ_ring)
74		zringplusg 21790	. . 3 ⊢ + = (+_g‘ℤ_ring)
75		zringmulr 21793	. . 3 ⊢ · = (._r‘ℤ_ring)
76	72, 73, 74, 75	islidl 21524	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑈 ↔ (𝐸 ⊆ ℤ ∧ 𝐸 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸))
77	3, 5, 71, 76	mpbir3an 1360	1 ⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ∀wral 3080 ∃wrex 3090 {crab 3416 ⊆ wss 3900 ∅c0 4281 ‘cfv 6558 (class class class)co 7443 ℂcc 11225 0cc0 11227 + caddc 11230 · cmul 11232 2c2 12424 ℤcz 12720 LIdealclidl 21514 ℤ_ringczring 21782

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5235 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7775 ax-cnex 11283 ax-resscn 11284 ax-1cn 11285 ax-icn 11286 ax-addcl 11287 ax-addrcl 11288 ax-mulcl 11289 ax-mulrcl 11290 ax-mulcom 11291 ax-addass 11292 ax-mulass 11293 ax-distr 11294 ax-i2m1 11295 ax-1ne0 11296 ax-1rid 11297 ax-rnegex 11298 ax-rrecex 11299 ax-cnre 11300 ax-pre-lttri 11301 ax-pre-lttrn 11302 ax-pre-ltadd 11303 ax-pre-mulgt0 11304 ax-addf 11306 ax-mulf 11307

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4839 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6322 df-ord 6383 df-on 6384 df-lim 6385 df-suc 6386 df-iota 6512 df-fun 6560 df-fn 6561 df-f 6562 df-f1 6563 df-fo 6564 df-f1o 6565 df-fv 6566 df-riota 7400 df-ov 7446 df-oprab 7447 df-mpo 7448 df-om 7902 df-1st 8025 df-2nd 8026 df-frecs 8327 df-wrecs 8358 df-recs 8407 df-rdg 8446 df-1o 8504 df-er 8745 df-en 9002 df-dom 9003 df-sdom 9004 df-fin 9005 df-pnf 11372 df-mnf 11373 df-xr 11374 df-ltxr 11375 df-le 11376 df-sub 11570 df-neg 11571 df-nn 12363 df-2 12432 df-3 12433 df-4 12434 df-5 12435 df-6 12436 df-7 12437 df-8 12438 df-9 12439 df-n0 12634 df-z 12721 df-dec 12842 df-uz 12993 df-fz 13667 df-struct 17354 df-sets 17371 df-slot 17389 df-ndx 17401 df-base 17417 df-ress 17438 df-plusg 17470 df-mulr 17471 df-starv 17472 df-sca 17473 df-vsca 17474 df-ip 17475 df-tset 17476 df-ple 17477 df-ds 17479 df-unif 17480 df-lss 21237 df-sra 21478 df-rgmod 21479 df-lidl 21516 df-cnfld 21709 df-zring 21783

This theorem is used by: 2zrng 49543

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