Theorem 2zrngamnd 48357

Description: R is an (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngamnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngasgrp 48356	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Smgrp
4	1	0even 48347	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 0 ∈ 𝐸)
6		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
7	6	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ↔ (0 + 𝑦) = 𝑦))
8	7	ovanraleqv 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
10		elrabi 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
11	10, 1	eleq2s 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
13		addlid 11296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0 + 𝑦) = 𝑦)
14		addrid 11293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
15	13, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
18	17	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
19	5, 9, 18	rspcedvd 3574	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦))
20	4, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)
21	1, 2	2zrngbas 48352	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
22	1, 2	2zrngadd 48353	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23	21, 22	ismnddef 18644	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ (𝑅 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)))
24	3, 20, 23	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  ℤcz 12468   ↾_s cress 17141  Smgrpcsgrp 18626  Mndcmnd 18642  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by:  2zrngacmnd  48358  2zrngagrp  48359