Theorem 2zrngamnd 47500

Description: R is an (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngamnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngasgrp 47499	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Smgrp
4	1	0even 47490	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 0 ∈ 𝐸)
6		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
7	6	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ↔ (0 + 𝑦) = 𝑦))
8	7	ovanraleqv 7443	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
9	8	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
10		elrabi 3673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
11	10, 1	eleq2s 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
13		addlid 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0 + 𝑦) = 𝑦)
14		addrid 11431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
15	13, 14	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
17	16	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
18	17	ralrimiva 3135	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
19	5, 9, 18	rspcedvd 3608	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦))
20	4, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)
21	1, 2	2zrngbas 47495	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
22	1, 2	2zrngadd 47496	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23	21, 22	ismnddef 18715	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ (𝑅 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)))
24	3, 20, 23	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  0cc0 11145   + caddc 11148   · cmul 11150  2c2 12305  ℤcz 12596   ↾_s cress 17228  Smgrpcsgrp 18697  Mndcmnd 18713  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-addf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by:  2zrngacmnd  47501  2zrngagrp  47502