Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngamnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngamnd 44552
 Description: R is an (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
Assertion
Ref Expression
2zrngamnd 𝑅 ∈ Mnd
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngamnd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2 2zrngbas.r . . 3 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
31, 22zrngasgrp 44551 . 2 𝑅 ∈ Smgrp
410even 44542 . . 3 0 ∈ 𝐸
5 id 22 . . . 4 (0 ∈ 𝐸 → 0 ∈ 𝐸)
6 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
76eqeq1d 2803 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ↔ (0 + 𝑦) = 𝑦))
87ovanraleqv 7163 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
98adantl 485 . . . 4 ((0 ∈ 𝐸𝑥 = 0) → (∀𝑦𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
10 elrabi 3626 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
1110, 1eleq2s 2911 . . . . . . . 8 (𝑦𝐸𝑦 ∈ ℤ)
1211zcnd 12080 . . . . . . 7 (𝑦𝐸𝑦 ∈ ℂ)
13 addid2 10816 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → (0 + 𝑦) = 𝑦)
14 addid1 10813 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
1513, 14jca 515 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
1612, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑦𝐸 → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
1716adantl 485 . . . . 5 ((0 ∈ 𝐸𝑦𝐸) → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
1817ralrimiva 3152 . . . 4 (0 ∈ 𝐸 → ∀𝑦𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
195, 9, 18rspcedvd 3577 . . 3 (0 ∈ 𝐸 → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦))
204, 19ax-mp 5 . 2 𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)
211, 22zrngbas 44547 . . 3 𝐸 = (Base‘𝑅)
221, 22zrngadd 44548 . . 3 + = (+g𝑅)
2321, 22ismnddef 17908 . 2 (𝑅 ∈ Mnd ↔ (𝑅 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)))
243, 20, 23mpbir2an 710 1 𝑅 ∈ Mnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530   + caddc 10533   · cmul 10535  2c2 11684  ℤcz 11973   ↾s cress 16479  Smgrpcsgrp 17895  Mndcmnd 17906  ℂfldccnfld 20094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-cnfld 20095 This theorem is referenced by:  2zrngacmnd  44553  2zrngagrp  44554
 Copyright terms: Public domain W3C validator