Theorem 2zrngamnd 48636

Description: R is an (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngamnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngasgrp 48635	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Smgrp
4	1	0even 48626	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 0 ∈ 𝐸)
6		oveq1 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
7	6	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ↔ (0 + 𝑦) = 𝑦))
8	7	ovanraleqv 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
10		elrabi 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
11	10, 1	eleq2s 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
13		addlid 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0 + 𝑦) = 𝑦)
14		addrid 11327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
15	13, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
18	17	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
19	5, 9, 18	rspcedvd 3580	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦))
20	4, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)
21	1, 2	2zrngbas 48631	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
22	1, 2	2zrngadd 48632	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23	21, 22	ismnddef 18675	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ (𝑅 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)))
24	3, 20, 23	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040   + caddc 11043   · cmul 11045  2c2 12214  ℤcz 12502   ↾_s cress 17171  Smgrpcsgrp 18657  Mndcmnd 18673  ℂ_fldccnfld 21326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-cnfld 21327

This theorem is referenced by:  2zrngacmnd  48637  2zrngagrp  48638