Theorem 2zrngamnd 49149

Description: R is an (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngamnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngasgrp 49148	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Smgrp
4	1	0even 49139	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5		id 23	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 0 ∈ 𝐸)
6		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
7	6	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ↔ (0 + 𝑦) = 𝑦))
8	7	ovanraleqv 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
10		elrabi 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
11	10, 1	eleq2s 2880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
13		addlid 11420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0 + 𝑦) = 𝑦)
14		addrid 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
15	13, 14	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
16	12, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
18	17	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
19	5, 9, 18	rspcedvd 3581	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦))
20	4, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)
21	1, 2	2zrngbas 49144	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
22	1, 2	2zrngadd 49145	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23	21, 22	ismnddef 18840	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ (𝑅 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)))
24	3, 20, 23	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12322  ℤcz 12618   ↾_s cress 17326  Smgrpcsgrp 18822  Mndcmnd 18838  ℂ_fldccnfld 21586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-cnfld 21587

This theorem is used by:  2zrngacmnd  49150  2zrngagrp  49151