Theorem 2zrngamnd 46928

Description: R is an (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngamnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngamnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngasgrp 46927	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Smgrp
4	1	0even 46918	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 0 ∈ 𝐸)
6		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
7	6	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ↔ (0 + 𝑦) = 𝑦))
8	7	ovanraleqv 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦)))
10		elrabi 3677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
11	10, 1	eleq2s 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
13		addlid 11402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0 + 𝑦) = 𝑦)
14		addrid 11399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
15	13, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
18	17	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((0 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 0) = 𝑦))
19	5, 9, 18	rspcedvd 3614	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦))
20	4, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)
21	1, 2	2zrngbas 46923	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
22	1, 2	2zrngadd 46924	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
23	21, 22	ismnddef 18662	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd ↔ (𝑅 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 + 𝑥) = 𝑦)))
24	3, 20, 23	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117   · cmul 11119  2c2 12272  ℤcz 12563   ↾_s cress 17178  Smgrpcsgrp 18644  Mndcmnd 18660  ℂ_fldccnfld 21145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-cnfld 21146

This theorem is referenced by:  2zrngacmnd  46929  2zrngagrp  46930