Theorem 1neven 45530

Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
1neven	⊢ 1 ∉ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1neven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12426	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1a 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 → (1 / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	mtoi 198	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
4		1cnd 10998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
5		zcn 12352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		2cnne0 12211	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
8		divmul2 11665	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
10	3, 9	mtbid 323	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
11	10	nrex 3072	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)
12	11	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥))
13		eqeq1 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3169	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
15		2zrng.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	elrab2 3629	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝐸 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
17	12, 16	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 1 ∈ 𝐸
18	17	nelir 3047	1 ⊢ 1 ∉ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938   ∉ wnel 3044  ∃wrex 3068  {crab 3221  (class class class)co 7295  ℂcc 10897  0cc0 10899  1c1 10900   · cmul 10904   / cdiv 11660  2c2 12056  ℤcz 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-n0 12262  df-z 12348

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  45547  2zrngnmrid  45548