Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1neven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1neven 48154
Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
1neven 1 ∉ 𝐸
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1neven
StepHypRef Expression
1 halfnz 12696 . . . . . . 7 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1a 2836 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 → (1 / 2) ∈ ℤ))
31, 2mtoi 199 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
4 1cnd 11256 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
5 zcn 12618 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 2cnne0 12476 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
8 divmul2 11926 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
103, 9mtbid 324 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
1110nrex 3074 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)
1211intnan 486 . . 3 ¬ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥))
13 eqeq1 2741 . . . . 5 (𝑧 = 1 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
1413rexbidv 3179 . . . 4 (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
15 2zrng.e . . . 4 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
1614, 15elrab2 3695 . . 3 (1 ∈ 𝐸 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
1712, 16mtbir 323 . 2 ¬ 1 ∈ 𝐸
1817nelir 3049 1 1 ∉ 𝐸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wnel 3046  wrex 3070  {crab 3436  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  48171  2zrngnmrid  48172
  Copyright terms: Public domain W3C validator