Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1neven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1neven 47300
Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
Assertion
Ref Expression
1neven 1 โˆ‰ ๐ธ
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 1neven
StepHypRef Expression
1 halfnz 12671 . . . . . . 7 ยฌ (1 / 2) โˆˆ โ„ค
2 eleq1a 2824 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
31, 2mtoi 198 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (1 / 2) = ๐‘ฅ)
4 1cnd 11240 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5 zcn 12594 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 2cnne0 12453 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
76a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
8 divmul2 11907 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
103, 9mtbid 324 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
1110nrex 3071 . . . 4 ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)
1211intnan 486 . . 3 ยฌ (1 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
13 eqeq1 2732 . . . . 5 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1413rexbidv 3175 . . . 4 (๐‘ง = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
15 2zrng.e . . . 4 ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
1614, 15elrab2 3685 . . 3 (1 โˆˆ ๐ธ โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1712, 16mtbir 323 . 2 ยฌ 1 โˆˆ ๐ธ
1817nelir 3046 1 1 โˆ‰ ๐ธ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โˆ‰ wnel 3043  โˆƒwrex 3067  {crab 3429  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144   / cdiv 11902  2c2 12298  โ„คcz 12589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  47317  2zrngnmrid  47318
  Copyright terms: Public domain W3C validator