Theorem 1neven 48400

Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
1neven	⊢ 1 ∉ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1neven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12561	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1a 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 → (1 / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	mtoi 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
4		1cnd 11118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
5		zcn 12484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		2cnne0 12341	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
8		divmul2 11791	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
10	3, 9	mtbid 324	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
11	10	nrex 3061	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)
12	11	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥))
13		eqeq1 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
15		2zrng.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	elrab2 3646	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝐸 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
17	12, 16	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1 ∈ 𝐸
18	17	nelir 3036	1 ⊢ 1 ∉ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∉ wnel 3033  ∃wrex 3057  {crab 3396  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018   · cmul 11022   / cdiv 11785  2c2 12191  ℤcz 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  48417  2zrngnmrid  48418