Theorem 1neven 48230

Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
1neven	⊢ 1 ∉ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1neven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12619	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1a 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 → (1 / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	mtoi 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
4		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
5		zcn 12541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		2cnne0 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
8		divmul2 11848	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
10	3, 9	mtbid 324	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
11	10	nrex 3058	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)
12	11	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥))
13		eqeq1 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
14	13	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
15		2zrng.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	elrab2 3665	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝐸 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
17	12, 16	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 1 ∈ 𝐸
18	17	nelir 3033	1 ⊢ 1 ∉ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  ∃wrex 3054  {crab 3408  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  48247  2zrngnmrid  48248