Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1neven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1neven 47169
Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
Assertion
Ref Expression
1neven 1 โˆ‰ ๐ธ
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 1neven
StepHypRef Expression
1 halfnz 12641 . . . . . . 7 ยฌ (1 / 2) โˆˆ โ„ค
2 eleq1a 2822 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
31, 2mtoi 198 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (1 / 2) = ๐‘ฅ)
4 1cnd 11210 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5 zcn 12564 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 2cnne0 12423 . . . . . . . 8 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
76a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
8 divmul2 11877 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1368 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
103, 9mtbid 324 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
1110nrex 3068 . . . 4 ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)
1211intnan 486 . . 3 ยฌ (1 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
13 eqeq1 2730 . . . . 5 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1413rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘ง = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
15 2zrng.e . . . 4 ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
1614, 15elrab2 3681 . . 3 (1 โˆˆ ๐ธ โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
1712, 16mtbir 323 . 2 ยฌ 1 โˆˆ ๐ธ
1817nelir 3043 1 1 โˆ‰ ๐ธ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆ‰ wnel 3040  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11872  2c2 12268  โ„คcz 12559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  47186  2zrngnmrid  47187
  Copyright terms: Public domain W3C validator