Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1neven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1neven 44131
Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
1neven 1 ∉ 𝐸
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1neven
StepHypRef Expression
1 halfnz 12048 . . . . . . 7 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1a 2905 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 → (1 / 2) ∈ ℤ))
31, 2mtoi 200 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
4 1cnd 10624 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
5 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 2cnne0 11835 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
8 divmul2 11290 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
103, 9mtbid 325 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
1110nrex 3266 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)
1211intnan 487 . . 3 ¬ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥))
13 eqeq1 2822 . . . . 5 (𝑧 = 1 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
1413rexbidv 3294 . . . 4 (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
15 2zrng.e . . . 4 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
1614, 15elrab2 3680 . . 3 (1 ∈ 𝐸 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
1712, 16mtbir 324 . 2 ¬ 1 ∈ 𝐸
1817nelir 3123 1 1 ∉ 𝐸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wnel 3120  wrex 3136  {crab 3139  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  2c2 11680  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  44148  2zrngnmrid  44149
  Copyright terms: Public domain W3C validator