![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 1neven | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
2zrng.e | โข ๐ธ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} |
Ref | Expression |
---|---|
1neven | โข 1 โ ๐ธ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | halfnz 12641 | . . . . . . 7 โข ยฌ (1 / 2) โ โค | |
2 | eleq1a 2822 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ((1 / 2) = ๐ฅ โ (1 / 2) โ โค)) | |
3 | 1, 2 | mtoi 198 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ (1 / 2) = ๐ฅ) |
4 | 1cnd 11210 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ 1 โ โ) | |
5 | zcn 12564 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
6 | 2cnne0 12423 | . . . . . . . 8 โข (2 โ โ โง 2 โ 0) | |
7 | 6 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ (2 โ โ โง 2 โ 0)) |
8 | divmul2 11877 | . . . . . . 7 โข ((1 โ โ โง ๐ฅ โ โ โง (2 โ โ โง 2 โ 0)) โ ((1 / 2) = ๐ฅ โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) | |
9 | 4, 5, 7, 8 | syl3anc 1368 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ ((1 / 2) = ๐ฅ โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
10 | 3, 9 | mtbid 324 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ 1 = (2 ยท ๐ฅ)) |
11 | 10 | nrex 3068 | . . . 4 โข ยฌ โ๐ฅ โ โค 1 = (2 ยท ๐ฅ) |
12 | 11 | intnan 486 | . . 3 โข ยฌ (1 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 1 = (2 ยท ๐ฅ)) |
13 | eqeq1 2730 | . . . . 5 โข (๐ง = 1 โ (๐ง = (2 ยท ๐ฅ) โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) | |
14 | 13 | rexbidv 3172 | . . . 4 โข (๐ง = 1 โ (โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ) โ โ๐ฅ โ โค 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
15 | 2zrng.e | . . . 4 โข ๐ธ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} | |
16 | 14, 15 | elrab2 3681 | . . 3 โข (1 โ ๐ธ โ (1 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
17 | 12, 16 | mtbir 323 | . 2 โข ยฌ 1 โ ๐ธ |
18 | 17 | nelir 3043 | 1 โข 1 โ ๐ธ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โ wnel 3040 โwrex 3064 {crab 3426 (class class class)co 7404 โcc 11107 0cc0 11109 1c1 11110 ยท cmul 11114 / cdiv 11872 2c2 12268 โคcz 12559 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-n0 12474 df-z 12560 |
This theorem is referenced by: 2zrngnmlid 47186 2zrngnmrid 47187 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |