Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidldomnnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidldomnnring 45014
Description: A (left) ideal of a domain which is neither the zero ideal nor the unit ideal is not a unital ring. (Contributed by AV, 18-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
zlidlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidldomnnring ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → 𝐼 ∉ Ring)

Proof of Theorem lidldomnnring
StepHypRef Expression
1 neanior 3026 . . . . 5 ((𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵) ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
21biimpi 219 . . . 4 ((𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
323adant1 1131 . . 3 ((𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
43adantl 485 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
5 df-nel 3039 . . 3 (𝐼 ∉ Ring ↔ ¬ 𝐼 ∈ Ring)
6 lidlabl.l . . . . . 6 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
7 lidlabl.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
8 zlidlring.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 zlidlring.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
106, 7, 8, 9uzlidlring 45013 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑈𝐿) → (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
11103ad2antr1 1189 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
1211notbid 321 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → (¬ 𝐼 ∈ Ring ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
135, 12syl5bb 286 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → (𝐼 ∉ Ring ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
144, 13mpbird 260 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → 𝐼 ∉ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wnel 3038  {csn 4517  cfv 6340  (class class class)co 7171  Basecbs 16587  s cress 16588  0gc0g 16817  Ringcrg 19417  LIdealclidl 20062  Domncdomn 20173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-0g 16819  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-subg 18395  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-subrg 19653  df-lmod 19756  df-lss 19824  df-sra 20064  df-rgmod 20065  df-lidl 20066  df-nzr 20151  df-domn 20177  df-rng0 44959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator