Theorem lidldomnnring 46729

Description: A (left) ideal of a domain which is neither the zero ideal nor the unit ideal is not a unital ring. (Contributed by AV, 18-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
zlidlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldomnnring	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵)) → 𝐼 ∉ Ring)

Proof of Theorem lidldomnnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neanior 3036	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵) ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
2	1	biimpi 215	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
3	2	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
4	3	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵)) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
5		df-nel 3048	. . 3 ⊢ (𝐼 ∉ Ring ↔ ¬ 𝐼 ∈ Ring)
6		lidlabl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
7		lidlabl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
8		zlidlring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		zlidlring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	uzlidlring 46728	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
11	10	3ad2antr1 1189	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵)) → (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
12	11	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵)) → (¬ 𝐼 ∈ Ring ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
13	5, 12	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵)) → (𝐼 ∉ Ring ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
14	4, 13	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈 ≠ 𝐵)) → 𝐼 ∉ Ring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∉ wnel 3047  {csn 4626  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  Basecbs 17139   ↾_s cress 17168  0_gc0g 17380  Ringcrg 20046  LIdealclidl 20770  Domncdomn 20882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-sbg 18819  df-subg 18996  df-cmn 19642  df-abl 19643  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-nzr 20280  df-subrg 20348  df-lmod 20460  df-lss 20530  df-sra 20772  df-rgmod 20773  df-lidl 20774  df-domn 20886  df-rng 46583

This theorem is referenced by: (None)