Theorem 2zrng0 47168

Description: The additive identity of R is the complex number 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrng0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrng0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 21271	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 20146	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 20144	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
6	5	0even 47161	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐸
7		ssrab2 4070	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℤ
8	5, 7	eqsstri 4009	. . 3 ⊢ 𝐸 ⊆ ℤ
9		zsscn 12565	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3984	. 2 ⊢ 𝐸 ⊆ ℂ
11		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
12		cnfldbas 21238	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13		cnfld0 21274	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
14	11, 12, 13	ress0g 18691	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐸 ∧ 𝐸 ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘𝑅))
15	4, 6, 10, 14	mp3an 1457	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  {crab 3424   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107   · cmul 11112  2c2 12266  ℤcz 12557   ↾_s cress 17178  0_gc0g 17390  Mndcmnd 18663  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  ℂ_fldccnfld 21234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21235

This theorem is referenced by:  2zrngagrp  47173