Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngacmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngacmnd 44389
 Description: R is a commutative (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
Assertion
Ref Expression
2zrngacmnd 𝑅 ∈ CMnd
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngacmnd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
210even 44378 . 2 0 ∈ 𝐸
3 2zrngbas.r . . . . 5 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
41, 32zrngbas 44383 . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ 𝐸𝐸 = (Base‘𝑅))
61, 32zrngadd 44384 . . . 4 + = (+g𝑅)
76a1i 11 . . 3 (0 ∈ 𝐸 → + = (+g𝑅))
81, 32zrngamnd 44388 . . . 4 𝑅 ∈ Mnd
98a1i 11 . . 3 (0 ∈ 𝐸𝑅 ∈ Mnd)
10 elrabi 3652 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℤ)
1110zcnd 12066 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℂ)
1211, 1eleq2s 2930 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝑥 ∈ ℂ)
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝑥𝐸𝑦𝐸) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 elrabi 3652 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
1514zcnd 12066 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
1615, 1eleq2s 2930 . . . . . 6 (𝑦𝐸𝑦 ∈ ℂ)
1716adantl 485 . . . . 5 ((𝑥𝐸𝑦𝐸) → 𝑦 ∈ ℂ)
1813, 17addcomd 10819 . . . 4 ((𝑥𝐸𝑦𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
19183adant1 1127 . . 3 ((0 ∈ 𝐸𝑥𝐸𝑦𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
205, 7, 9, 19iscmnd 18898 . 2 (0 ∈ 𝐸𝑅 ∈ CMnd)
212, 20ax-mp 5 1 𝑅 ∈ CMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127  {crab 3130  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  0cc0 10514   + caddc 10517   · cmul 10519  2c2 11670  ℤcz 11959  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  +gcplusg 16544  Mndcmnd 17890  CMndccmn 18885  ℂfldccnfld 20521 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-addf 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-cmn 18887  df-cnfld 20522 This theorem is referenced by:  2zrngaabl  44391
 Copyright terms: Public domain W3C validator