Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngacmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngacmnd 42939
Description: R is a commutative (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
Assertion
Ref Expression
2zrngacmnd 𝑅 ∈ CMnd
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngacmnd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
210even 42928 . 2 0 ∈ 𝐸
3 2zrngbas.r . . . . 5 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
41, 32zrngbas 42933 . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ 𝐸𝐸 = (Base‘𝑅))
61, 32zrngadd 42934 . . . 4 + = (+g𝑅)
76a1i 11 . . 3 (0 ∈ 𝐸 → + = (+g𝑅))
81, 32zrngamnd 42938 . . . 4 𝑅 ∈ Mnd
98a1i 11 . . 3 (0 ∈ 𝐸𝑅 ∈ Mnd)
10 elrabi 3566 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℤ)
1110zcnd 11835 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℂ)
1211, 1eleq2s 2876 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝑥 ∈ ℂ)
1312adantr 474 . . . . 5 ((𝑥𝐸𝑦𝐸) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 elrabi 3566 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
1514zcnd 11835 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
1615, 1eleq2s 2876 . . . . . 6 (𝑦𝐸𝑦 ∈ ℂ)
1716adantl 475 . . . . 5 ((𝑥𝐸𝑦𝐸) → 𝑦 ∈ ℂ)
1813, 17addcomd 10578 . . . 4 ((𝑥𝐸𝑦𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
19183adant1 1121 . . 3 ((0 ∈ 𝐸𝑥𝐸𝑦𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
205, 7, 9, 19iscmnd 18591 . 2 (0 ∈ 𝐸𝑅 ∈ CMnd)
212, 20ax-mp 5 1 𝑅 ∈ CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wrex 3090  {crab 3093  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272   + caddc 10275   · cmul 10277  2c2 11430  cz 11728  Basecbs 16255  s cress 16256  +gcplusg 16338  Mndcmnd 17680  CMndccmn 18579  fldccnfld 20142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-cmn 18581  df-cnfld 20143
This theorem is referenced by:  2zrngaabl  42941
  Copyright terms: Public domain W3C validator