Theorem 2zrngacmnd 48220

Description: R is a commutative (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngacmnd	⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngacmnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2	1	0even 48209	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐸
3		2zrngbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
4	1, 3	2zrngbas 48214	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝐸 = (Base‘𝑅))
6	1, 3	2zrngadd 48215	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → + = (+g‘𝑅))
8	1, 3	2zrngamnd 48219	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ Mnd)
10		elrabi 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℂ)
12	11, 1	eleq2s 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		elrabi 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
16	15, 1	eleq2s 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	13, 17	addcomd 11336	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
19	18	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
20	5, 7, 9, 19	iscmnd 19691	. 2 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CMnd)
21	2, 20	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3396  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   + caddc 11031   · cmul 11033  2c2 12201  ℤcz 12489  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179  Mndcmnd 18626  CMndccmn 19677  ℂ_fldccnfld 21279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-cmn 19679  df-cnfld 21280

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  48222