Theorem 2zrngacmnd 48861

Description: R is a commutative (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngacmnd	⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngacmnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2	1	0even 48850	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐸
3		2zrngbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
4	1, 3	2zrngbas 48855	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝐸 = (Base‘𝑅))
6	1, 3	2zrngadd 48856	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → + = (+g‘𝑅))
8	1, 3	2zrngamnd 48860	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ Mnd)
10		elrabi 3647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℂ)
12	11, 1	eleq2s 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		elrabi 3647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
16	15, 1	eleq2s 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	13, 17	addcomd 11396	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
19	18	3adant1 1144	. . 3 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
20	5, 7, 9, 19	iscmnd 19844	. 2 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CMnd)
21	2, 20	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087  {crab 3415  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  0cc0 11084   + caddc 11087   · cmul 11089  2c2 12282  ℤcz 12578  Basecbs 17255   ↾_s cress 17276  +_gcplusg 17296  Mndcmnd 18778  CMndccmn 19830  ℂ_fldccnfld 21431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-addf 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-cmn 19832  df-cnfld 21432

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  48863