Theorem 2zrngacmnd 48712

Description: R is a commutative (additive) monoid. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngacmnd	⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngacmnd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2	1	0even 48701	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐸
3		2zrngbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
4	1, 3	2zrngbas 48706	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝐸 = (Base‘𝑅))
6	1, 3	2zrngadd 48707	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → + = (+g‘𝑅))
8	1, 3	2zrngamnd 48711	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ Mnd)
10		elrabi 3627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑥 ∈ ℂ)
12	11, 1	eleq2s 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		elrabi 3627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
16	15, 1	eleq2s 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	13, 17	addcomd 11337	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
19	18	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((0 ∈ 𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
20	5, 7, 9, 19	iscmnd 19758	. 2 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CMnd)
21	2, 20	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  {crab 3387  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027   + caddc 11030   · cmul 11032  2c2 12225  ℤcz 12513  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  +_gcplusg 17209  Mndcmnd 18691  CMndccmn 19744  ℂ_fldccnfld 21341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-cmn 19746  df-cnfld 21342

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  48714