Theorem abssid 28235

Description: The absolute value of a non-negative surreal is itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
abssid	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ≤s 𝐴) → (abss‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem abssid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abssval 28233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))
2		iftrue 4473	. 2 ⊢ ( 0s ≤s 𝐴 → if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
3	1, 2	sylan9eq 2792	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ≤s 𝐴) → (abss‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6500   No csur 27605   ≤s cles 27710   0_s c0s 27799   -u_s cnegs 28013  abs_scabss 28231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27608  df-lts 27609  df-bday 27610  df-slts 27752  df-cuts 27754  df-0s 27801  df-made 27821  df-old 27822  df-left 27824  df-right 27825  df-norec 27932  df-negs 28015  df-abss 28232

This theorem is referenced by:  abs0s  28236  absmuls  28238  absnegs  28241  leabss  28242  elreno2  28489  1reno  28491