Theorem abssval 28447

Description: The value of surreal absolute value. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
abssval	⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))

Proof of Theorem abssval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abss 28446	. 2 ⊢ abss = (𝑥 ∈ No ↦ if( 0s ≤s 𝑥, 𝑥, ( -us ‘𝑥)))
2		breq2 5116	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ( 0s ≤s 𝑥 ↔ 0s ≤s 𝐴))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ( -us ‘𝑥) = ( -us ‘𝐴))
5	2, 3, 4	ifbieq12d 4519	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if( 0s ≤s 𝑥, 𝑥, ( -us ‘𝑥)) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))
6		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
7		negscl 28244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
8	6, 7	ifcld 4537	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) ∈ No )
9	1, 5, 6, 8	fvmptd3 7017	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4490   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540   No csur 27819   ≤s cles 27923   0_s c0s 28013   -u_s cnegs 28227  abs_scabss 28445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-1o 8455  df-2o 8456  df-no 27822  df-lts 27823  df-bday 27824  df-slts 27966  df-cuts 27968  df-0s 28015  df-made 28035  df-old 28036  df-left 28038  df-right 28039  df-norec 28146  df-negs 28229  df-abss 28446

This theorem is used by:  absscl  28448  abssid  28449  abssnid  28451  abssge0  28453  abssor  28454