Theorem abssval 28126

Description: The value of surreal absolute value. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
abssval	⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))

Proof of Theorem abssval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abss 28125	. 2 ⊢ abss = (𝑥 ∈ No ↦ if( 0s ≤s 𝑥, 𝑥, ( -us ‘𝑥)))
2		breq2 5146	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ( 0s ≤s 𝑥 ↔ 0s ≤s 𝐴))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ( -us ‘𝑥) = ( -us ‘𝐴))
5	2, 3, 4	ifbieq12d 4552	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if( 0s ≤s 𝑥, 𝑥, ( -us ‘𝑥)) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))
6		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
7		negscl 27941	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
8	6, 7	ifcld 4570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)) ∈ No )
9	1, 5, 6, 8	fvmptd3 7022	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) = if( 0s ≤s 𝐴, 𝐴, ( -us ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542   No csur 27566   ≤s csle 27670   0_s c0s 27748   -u_s cnegs 27925  abs_scabss 28124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-0s 27750  df-made 27767  df-old 27768  df-left 27770  df-right 27771  df-norec 27848  df-negs 27927  df-abss 28125

This theorem is referenced by:  absscl  28127  abssid  28128  abssnid  28130  abssge0  28132  abssor  28133