MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssval 28126
Description: The value of surreal absolute value. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
abssval (ðī ∈ No → (abss‘ðī) = if( 0s â‰Īs ðī, ðī, ( -us ‘ðī)))

Proof of Theorem abssval
Dummy variable ð‘Ĩ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abss 28125 . 2 abss = (ð‘Ĩ ∈ No â†Ķ if( 0s â‰Īs ð‘Ĩ, ð‘Ĩ, ( -us ‘ð‘Ĩ)))
2 breq2 5146 . . 3 (ð‘Ĩ = ðī → ( 0s â‰Īs ð‘Ĩ ↔ 0s â‰Īs ðī))
3 id 22 . . 3 (ð‘Ĩ = ðī → ð‘Ĩ = ðī)
4 fveq2 6891 . . 3 (ð‘Ĩ = ðī → ( -us ‘ð‘Ĩ) = ( -us ‘ðī))
52, 3, 4ifbieq12d 4552 . 2 (ð‘Ĩ = ðī → if( 0s â‰Īs ð‘Ĩ, ð‘Ĩ, ( -us ‘ð‘Ĩ)) = if( 0s â‰Īs ðī, ðī, ( -us ‘ðī)))
6 id 22 . 2 (ðī ∈ No → ðī ∈ No )
7 negscl 27941 . . 3 (ðī ∈ No → ( -us ‘ðī) ∈ No )
86, 7ifcld 4570 . 2 (ðī ∈ No → if( 0s â‰Īs ðī, ðī, ( -us ‘ðī)) ∈ No )
91, 5, 6, 8fvmptd3 7022 1 (ðī ∈ No → (abss‘ðī) = if( 0s â‰Īs ðī, ðī, ( -us ‘ðī)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142  â€˜cfv 6542   No csur 27566   â‰Īs csle 27670   0s c0s 27748   -us cnegs 27925  absscabss 28124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-0s 27750  df-made 27767  df-old 27768  df-left 27770  df-right 27771  df-norec 27848  df-negs 27927  df-abss 28125
This theorem is referenced by:  absscl  28127  abssid  28128  abssnid  28130  abssge0  28132  abssor  28133
  Copyright terms: Public domain W3C validator