Theorem ac6 10505

Description: Equivalent of Axiom of Choice. This is useful for proving that there exists, for example, a sequence mapping natural numbers to members of a larger set 𝐵, where 𝜑 depends on 𝑥 (the natural number) and 𝑦 (to specify a member of 𝐵). A stronger version of this theorem, ac6s 10509, allows 𝐵 to be a proper class. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6.2	⊢ 𝐵 ∈ V
ac6.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑦,𝑓,𝐵,𝑥   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ssrab2 4073	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵
4	3	rgenw 3054	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵
5		iunss 5049	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵
7	2, 6	ssexi 5323	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ V
8		numth3 10495	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ dom card)
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ dom card
10		ac6.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
11	10	ac6num 10504	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ dom card ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
12	1, 9, 11	mp3an12 1447	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944  ∪ ciun 4997  dom cdm 5678  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  cardccrd 9960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-ac2 10488

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-en 8965  df-card 9964  df-ac 10141

This theorem is referenced by:  ac6c4  10506  ac6s  10509  wlkiswwlksupgr2  29760