Theorem ac6 10286

Description: Equivalent of Axiom of Choice. This is useful for proving that there exists, for example, a sequence mapping natural numbers to members of a larger set 𝐵, where 𝜑 depends on 𝑥 (the natural number) and 𝑦 (to specify a member of 𝐵). A stronger version of this theorem, ac6s 10290, allows 𝐵 to be a proper class. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6.2	⊢ 𝐵 ∈ V
ac6.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑦,𝑓,𝐵,𝑥   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ssrab2 4019	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵
4	3	rgenw 3066	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵
5		iunss 4982	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵
7	2, 6	ssexi 5255	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ V
8		numth3 10276	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ dom card)
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ dom card
10		ac6.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
11	10	ac6num 10285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ∈ dom card ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
12	1, 9, 11	mp3an12 1451	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3303  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892  ∪ ciun 4931  dom cdm 5600  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  cardccrd 9741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-ac2 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-en 8765  df-card 9745  df-ac 9922

This theorem is referenced by:  ac6c4  10287  ac6s  10290  wlkiswwlksupgr2  28291