Theorem ac6s 10476

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 9885, we derive this strong version of ac6 10472 that doesn't require 𝐵 to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	bnd2 9885	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
3		vex 3470	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
4		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	1, 3, 4	ac6 10472	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
6	5	anim2i 616	. . 3 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) → (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
7	6	eximi 1829	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
8		fss 6725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
9	8	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (𝑓:𝐴⟶𝑧 → 𝑓:𝐴⟶𝐵))
10	9	anim1d 610	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → ((𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
11	10	eximdv 1912	. . . 4 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	12	exlimiv 1925	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
14	2, 7, 13	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-en 8937  df-r1 9756  df-rank 9757  df-card 9931  df-ac 10108

This theorem is referenced by:  ac6n  10477  ac6s2  10478  ac6sg  10480  ac6sf  10481  nmounbseqiALT  30503  ac6sf2  32321  acunirnmpt2  32357  fedgmul  33198  pibt2  36789