MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s 9641
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 9053, we derive this strong version of ac6 9637 that doesn't require 𝐵 to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1 𝐴 ∈ V
ac6s.2 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3 𝐴 ∈ V
21bnd2 9053 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
3 vex 3401 . . . . 5 𝑧 ∈ V
4 ac6s.2 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
51, 3, 4ac6 9637 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
65anim2i 610 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → (𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
76eximi 1878 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
8 fss 6304 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝑧𝑧𝐵) → 𝑓:𝐴𝐵)
98expcom 404 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝑓:𝐴𝑧𝑓:𝐴𝐵))
109anim1d 604 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1110eximdv 1960 . . . 4 (𝑧𝐵 → (∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1211imp 397 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
1312exlimiv 1973 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
142, 7, 133syl 18 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3398  wss 3792  wf 6131  cfv 6135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-reg 8786  ax-inf2 8835  ax-ac2 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-en 8242  df-r1 8924  df-rank 8925  df-card 9098  df-ac 9272
This theorem is referenced by:  ac6n  9642  ac6s2  9643  ac6sg  9645  ac6sf  9646  nmounbseqiALT  28205  ac6sf2  29994  acunirnmpt2  30025
  Copyright terms: Public domain W3C validator