Theorem ac6s 10378

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 9789, we derive this strong version of ac6 10374 that doesn't require 𝐵 to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	bnd2 9789	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
3		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
4		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	1, 3, 4	ac6 10374	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
6	5	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) → (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
7	6	eximi 1835	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
8		fss 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
9	8	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (𝑓:𝐴⟶𝑧 → 𝑓:𝐴⟶𝐵))
10	9	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → ((𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
11	10	eximdv 1917	. . . 4 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	12	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
14	2, 7, 13	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-en 8873  df-r1 9660  df-rank 9661  df-card 9835  df-ac 10010

This theorem is referenced by:  ac6n  10379  ac6s2  10380  ac6sg  10382  ac6sf  10383  nmounbseqiALT  30722  ac6sf2  32566  acunirnmpt2  32603  fedgmul  33598  pibt2  37395