MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s 10501
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 9910, we derive this strong version of ac6 10497 that doesn't require 𝐵 to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1 𝐴 ∈ V
ac6s.2 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3 𝐴 ∈ V
21bnd2 9910 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
3 vex 3474 . . . . 5 𝑧 ∈ V
4 ac6s.2 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
51, 3, 4ac6 10497 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
65anim2i 616 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → (𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
76eximi 1830 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
8 fss 6733 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝑧𝑧𝐵) → 𝑓:𝐴𝐵)
98expcom 413 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝑓:𝐴𝑧𝑓:𝐴𝐵))
109anim1d 610 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1110eximdv 1913 . . . 4 (𝑧𝐵 → (∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1211imp 406 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
1312exlimiv 1926 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
142, 7, 133syl 18 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  Vcvv 3470  wss 3945  wf 6538  cfv 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-reg 9609  ax-inf2 9658  ax-ac2 10480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-en 8958  df-r1 9781  df-rank 9782  df-card 9956  df-ac 10133
This theorem is referenced by:  ac6n  10502  ac6s2  10503  ac6sg  10505  ac6sf  10506  nmounbseqiALT  30581  ac6sf2  32403  acunirnmpt2  32439  fedgmul  33319  pibt2  36890
  Copyright terms: Public domain W3C validator