Theorem ac6s 10475

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 9884, we derive this strong version of ac6 10471 that doesn't require 𝐵 to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	bnd2 9884	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑))
3		vex 3478	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
4		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	1, 3, 4	ac6 10471	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
6	5	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) → (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
7	6	eximi 1837	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝜑) → ∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
8		fss 6731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
9	8	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (𝑓:𝐴⟶𝑧 → 𝑓:𝐴⟶𝐵))
10	9	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → ((𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
11	10	eximdv 1920	. . . 4 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐵 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
12	11	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	12	exlimiv 1933	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
14	2, 7, 13	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-reg 9583  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-en 8936  df-r1 9755  df-rank 9756  df-card 9930  df-ac 10107

This theorem is referenced by:  ac6n  10476  ac6s2  10477  ac6sg  10479  ac6sf  10480  nmounbseqiALT  30018  ac6sf2  31836  acunirnmpt2  31872  fedgmul  32704  pibt2  36286