MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkiswwlksupgr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkiswwlksupgr2 27071
Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in a pseudograph. This variant of wlkiswwlks2 27069 does not require 𝐺 to be a simple pseudograph, but it requires the Axiom of Choice (ac6 9557) for its proof. Notice that only the existence of a function 𝑓 can be proven, but, in general, it cannot be "constructed" (as in wlkiswwlks2 27069). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlkiswwlksupgr2 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓

Proof of Theorem wlkiswwlksupgr2
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2765 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 27024 . 2 (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 edgval 26221 . . . . . . . . . . . . 13 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
54eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺))
6 upgruhgr 26277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
7 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
87uhgrfun 26241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → Fun (iEdg‘𝐺))
11 elrnrexdm 6555 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (iEdg‘𝐺) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
12 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
1312rexbii 3188 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
1411, 13syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (iEdg‘𝐺) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
165, 15syl5bi 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1716ralimdv 3110 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1817ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ UPGraph → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
1918com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
20193impia 1145 . . . . . . 7 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2120impcom 396 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
22 ovex 6876 . . . . . . 7 (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∈ V
23 fvex 6390 . . . . . . . 8 (iEdg‘𝐺) ∈ V
2423dmex 7299 . . . . . . 7 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
25 fveqeq2 6386 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑖) → (((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2622, 24, 25ac6 9557 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∃𝑓(𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2721, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓(𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
28 iswrdi 13493 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
2928adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3029adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
31 wrdfin 13507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ Fin)
32 hashnncl 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Fin → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ≠ ∅))
3332bicomd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Fin → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
3534biimpac 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
36 wrdf 13494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
37 nnz 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
38 fzoval 12682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
41 nnm1nn0 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
42 fnfzo0hash 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))
4341, 42sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))
4443eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝑓))
4544oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝑓)))
4640, 45eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝑓)))
4746feq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
4847biimpcd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
4948expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5036, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5235, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
53523adant3 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5453adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5554com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5655adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5756impcom 396 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))
58 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
5935, 43sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑃) − 1))
6059oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
6160ex 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1))))
62613adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1))))
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1))))
6463imp 395 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
6564adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
6665raleqdv 3292 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
6758, 66mpbird 248 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
6867anasss 458 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
6930, 57, 683jca 1158 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
7069ex 401 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7170eximdv 2012 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∃𝑓(𝑓:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7227, 71mpd 15 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
731, 7upgriswlk 26831 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7473adantr 472 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7574exbidv 2016 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7672, 75mpbird 248 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃)
7776ex 401 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
783, 77syl5bi 233 1 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑃 ∈ (WWalks‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(Walks‘𝐺)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  c0 4081  {cpr 4338   class class class wbr 4811  dom cdm 5279  ran crn 5280  Fun wfun 6064  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  Fincfn 8162  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194  cmin 10522  cn 11276  0cn0 11540  cz 11626  ...cfz 12536  ..^cfzo 12676  chash 13324  Word cword 13489  Vtxcvtx 26168  iEdgciedg 26169  Edgcedg 26219  UHGraphcuhgr 26231  UPGraphcupgr 26255  Walkscwlks 26786  WWalkscwwlks 27013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-ac2 9540  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-ifp 1086  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-card 9018  df-ac 9192  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-xnn0 11613  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-hash 13325  df-word 13490  df-edg 26220  df-uhgr 26233  df-upgr 26257  df-wlks 26789  df-wwlks 27018
This theorem is referenced by:  wlkiswwlkupgr  27072  wlklnwwlklnupgr2  27080
  Copyright terms: Public domain W3C validator