MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcan2 11403
Description: Cancellation law for addition. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
addcan2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem addcan2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnegex 11399 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
213ad2ant3 1132 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 + 𝑥) = 0)
3 oveq1 7412 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥))
4 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
74, 5, 6addassd 11240 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)))
8 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝑥) = 0)
98oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐴 + 0))
10 addrid 11398 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
114, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
127, 9, 113eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐴)
13 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 5, 6addassd 11240 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)))
158oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝑥)) = (𝐵 + 0))
16 addrid 11398 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
1713, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
1814, 15, 173eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) = 𝐵)
1912, 18eqeq12d 2742 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝐴 + 𝐶) + 𝑥) = ((𝐵 + 𝐶) + 𝑥) ↔ 𝐴 = 𝐵))
203, 19imbitrid 243 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
21 oveq1 7412 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2220, 21impbid1 224 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
232, 22rexlimddv 3155 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257
This theorem is referenced by:  addcom  11404  addcan2i  11412  addcomd  11420  addcan2d  11422  muleqadd  11862  axlowdimlem14  28721  subfacp1lem6  34704  fargshiftf1  46678
  Copyright terms: Public domain W3C validator