Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem6 34176
Description: Lemma for subfacp1 34177. By induction, we cut up the set of all derangements on ๐‘ + 1 according to the ๐‘ possible values of (๐‘“โ€˜1) (since (๐‘“โ€˜1) โ‰  1), and for each set for fixed ๐‘€ = (๐‘“โ€˜1), the subset of derangements with (๐‘“โ€˜๐‘€) = 1 has size ๐‘†(๐‘ โˆ’ 1) (by subfacp1lem3 34173), while the subset with (๐‘“โ€˜๐‘€) โ‰  1 has size ๐‘†(๐‘) (by subfacp1lem5 34175). Adding it all up yields the desired equation ๐‘(๐‘†(๐‘) + ๐‘†(๐‘ โˆ’ 1)) for the number of derangements on ๐‘ + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†ฆ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ (๐‘“:๐‘ฅโ€“1-1-ontoโ†’๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}))
subfac.n ๐‘† = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ทโ€˜(1...๐‘›)))
subfacp1lem.a ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = (๐‘ ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘“,๐‘,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ท,๐‘›   ๐‘†,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“)   ๐‘†(๐‘“)

Proof of Theorem subfacp1lem6
Dummy variables ๐‘” โ„Ž ๐‘š ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12224 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
21nnnn0d 12532 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
3 derang.d . . . . 5 ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†ฆ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ (๐‘“:๐‘ฅโ€“1-1-ontoโ†’๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}))
4 subfac.n . . . . 5 ๐‘† = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ทโ€˜(1...๐‘›)))
53, 4subfacval 34164 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = (๐ทโ€˜(1...(๐‘ + 1))))
62, 5syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = (๐ทโ€˜(1...(๐‘ + 1))))
7 fzfid 13938 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin)
83derangval 34158 . . . . 5 ((1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin โ†’ (๐ทโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}))
97, 8syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ทโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}))
10 subfacp1lem.a . . . . 5 ๐ด = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}
1110fveq2i 6895 . . . 4 (โ™ฏโ€˜๐ด) = (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)})
129, 11eqtr4di 2791 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ทโ€˜(1...(๐‘ + 1))) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
13 nnuz 12865 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
141, 13eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
15 eluzfz1 13508 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ 1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
17 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โŸถ(1...(๐‘ + 1)))
1817adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โŸถ(1...(๐‘ + 1)))
19 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โŸถ(1...(๐‘ + 1)) โˆง 1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘“โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
2019expcom 415 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โŸถ(1...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘“โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
2116, 18, 20syl2im 40 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘“โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
2221ss2abdv 4061 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)} โŠ† {๐‘“ โˆฃ (๐‘“โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))})
23 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘“โ€˜1))
2423eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†” (๐‘“โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
2524cbvabv 2806 . . . . . . 7 {๐‘” โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))} = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}
2622, 10, 253sstr4g 4028 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โŠ† {๐‘” โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))})
27 ssabral 4060 . . . . . 6 (๐ด โŠ† {๐‘” โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))} โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
2826, 27sylib 217 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
29 rabid2 3465 . . . . 5 (๐ด = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))} โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
3028, 29sylibr 233 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))})
3130fveq2d 6896 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}))
326, 12, 313eqtrd 2777 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}))
33 elfz1end 13531 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
341, 33sylib 217 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
35 eleq1 2822 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†” 1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
36 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...1))
37 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„ค
38 fzsn 13543 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (1...1) = {1})
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (1...1) = {1}
4036, 39eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...๐‘ฅ) = {1})
4140eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ) โ†” (๐‘”โ€˜1) โˆˆ {1}))
42 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘”โ€˜1) โˆˆ V
4342elsn 4644 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ {1} โ†” (๐‘”โ€˜1) = 1)
4441, 43bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ) โ†” (๐‘”โ€˜1) = 1))
4544rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)} = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1})
4645fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1}))
47 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
48 1m1e0 12284 . . . . . . . . . 10 (1 โˆ’ 1) = 0
4947, 48eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = 0)
5049oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (0 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
5146, 50eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1}) = (0 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
5235, 51imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†” (1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1}) = (0 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
5352imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1}) = (0 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))))
54 eleq1 2822 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†” ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
55 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...๐‘š))
5655eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ) โ†” (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)))
5756rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)} = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)})
5857fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}))
59 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘š โˆ’ 1))
6059oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
6158, 60eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
6254, 61imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†” (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
6362imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))))
64 eleq1 2822 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†” (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
65 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...(๐‘š + 1)))
6665eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ) โ†” (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))))
6766rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)} = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))})
6867fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}))
69 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = ((๐‘š + 1) โˆ’ 1))
7069oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
7168, 70eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
7264, 71imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†” ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
7372imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))))
74 eleq1 2822 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†” (๐‘ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
75 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...(๐‘ + 1)))
7675eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ) โ†” (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
7776rabbidv 3441 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)} = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))})
7877fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}))
79 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = ((๐‘ + 1) โˆ’ 1))
8079oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
8178, 80eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
8274, 81imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†” ((๐‘ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
8382imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘ฅ)}) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))))
84 hash0 14327 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
85 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘“โ€˜1))
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = 1 โ†’ ๐‘ฆ = 1)
8785, 86neeq12d 3003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = 1 โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ โ†” (๐‘“โ€˜1) โ‰  1))
8887rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜1) โ‰  1))
8916, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜1) โ‰  1))
9089adantld 492 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘“โ€˜1) โ‰  1))
9190ss2abdv 4061 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)} โŠ† {๐‘“ โˆฃ (๐‘“โ€˜1) โ‰  1})
92 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘”โ€˜1) โ‰  1 โ†” ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1)
9323neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โ‰  1 โ†” (๐‘“โ€˜1) โ‰  1))
9492, 93bitr3id 285 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1 โ†” (๐‘“โ€˜1) โ‰  1))
9594cbvabv 2806 . . . . . . . . . . 11 {๐‘” โˆฃ ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1} = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“โ€˜1) โ‰  1}
9691, 10, 953sstr4g 4028 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โŠ† {๐‘” โˆฃ ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1})
97 ssabral 4060 . . . . . . . . . 10 (๐ด โŠ† {๐‘” โˆฃ ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1} โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1)
9896, 97sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1)
99 rabeq0 4385 . . . . . . . . 9 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด ยฌ (๐‘”โ€˜1) = 1)
10098, 99sylibr 233 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1} = โˆ…)
101100fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1}) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
102 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1033, 4subfacf 34166 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘†:โ„•0โŸถโ„•0
104103ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
106 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
107103ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
109105, 108nn0addcld 12536 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
110109nn0cnd 12534 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
111110mul02d 11412 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = 0)
11284, 101, 1113eqtr4a 2799 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1}) = (0 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
113112a1d 25 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = 1}) = (0 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
114 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
115114, 13eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
116 peano2fzr 13514 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
117115, 116sylancom 589 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
118117ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1))))
119118imim1d 82 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
120 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})) = (((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})))
121 elfzp1 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1)) โ†” ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆจ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))))
122115, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1)) โ†” ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆจ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))))
123122rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))} = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆจ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))})
124 unrab 4306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}) = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆจ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))}
125123, 124eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))} = ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}))
126125fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (โ™ฏโ€˜({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})))
127 fzfi 13937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin
128 deranglem 34157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin โ†’ {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)} โˆˆ Fin)
129127, 128ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(1...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(1...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)} โˆˆ Fin
13010, 129eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ด โˆˆ Fin
131 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . 15 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โŠ† ๐ด
132 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โŠ† ๐ด) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆˆ Fin)
133130, 131, 132mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆˆ Fin
134 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . 15 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)} โŠ† ๐ด
135 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)} โŠ† ๐ด) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)} โˆˆ Fin)
136130, 134, 135mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)} โˆˆ Fin
137 inrab 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆฉ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}) = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))}
138 fzp1disj 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1...๐‘š) โˆฉ {(๐‘š + 1)}) = โˆ…
13942elsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ {(๐‘š + 1)} โ†” (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))
140 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) โˆˆ {(๐‘š + 1)}) โ†’ ((1...๐‘š) โˆฉ {(๐‘š + 1)}) โ‰  โˆ…)
141139, 140sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)) โ†’ ((1...๐‘š) โˆฉ {(๐‘š + 1)}) โ‰  โˆ…)
142141necon2bi 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1...๐‘š) โˆฉ {(๐‘š + 1)}) = โˆ… โ†’ ยฌ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)))
143138, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยฌ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))
144143rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด ยฌ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))
145 rabeq0 4385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด ยฌ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)))
146144, 145mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š) โˆง (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1))} = โˆ…
147137, 146eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆฉ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}) = โˆ…
148 hashun 14342 . . . . . . . . . . . . . 14 (({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆˆ Fin โˆง {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)} โˆˆ Fin โˆง ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆฉ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})))
149133, 136, 147, 148mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (โ™ฏโ€˜({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}))
150126, 149eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})))
151 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
152151ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
153 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„‚
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
155152, 154, 154addsubd 11592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆ’ 1) = ((๐‘š โˆ’ 1) + 1))
156155oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (((๐‘š โˆ’ 1) + 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
157 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
158152, 153, 157sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
159109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
160159nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
161158, 154, 160adddird 11239 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘š โˆ’ 1) + 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) + (1 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
162160mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (1 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
163 exmidne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1 โˆจ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)
164 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1 โˆจ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โ†” ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1 โˆจ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))
165163, 164mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1 โˆจ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)
166165biantru 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โ†” ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1 โˆจ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)))
167 andi 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1 โˆจ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)) โ†” (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆจ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)))
168166, 167bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โ†” (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆจ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)))
169168rabbii 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)} = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆจ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))}
170 unrab 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}) = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆจ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))}
171169, 170eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)} = ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)})
172171fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}) = (โ™ฏโ€˜({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}))
173 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โŠ† ๐ด
174 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โŠ† ๐ด) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆˆ Fin)
175130, 173, 174mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆˆ Fin
176 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)} โŠ† ๐ด
177 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)} โŠ† ๐ด) โ†’ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)} โˆˆ Fin)
178130, 176, 177mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)} โˆˆ Fin
179 inrab 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆฉ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}) = {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆง ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))}
180 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1) โ†’ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)
181180necon3ai 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1 โ†’ ยฌ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))
182181adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โ†’ ยฌ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))
183 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โ†’ ยฌ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)) โ†” ยฌ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆง ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)))
184182, 183mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ยฌ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆง ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))
185184rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด ยฌ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆง ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))
186 rabeq0 4385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆง ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ๐ด ยฌ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆง ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)))
187185, 186mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โˆง ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1))} = โˆ…
188179, 187eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆฉ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}) = โˆ…
189 hashun 14342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆˆ Fin โˆง {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)} โˆˆ Fin โˆง ({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆฉ {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)})))
190175, 178, 188, 189mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ™ฏโ€˜({๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} โˆช {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}))
191172, 190eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}))
192 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
193 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โ‰  0)
194 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 + 1) = 1
195194eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘š + 1) = (0 + 1) โ†” (๐‘š + 1) = 1)
196 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 โˆˆ โ„‚
197 addcan2 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š + 1) = (0 + 1) โ†” ๐‘š = 0))
198196, 153, 197mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘š โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘š + 1) = (0 + 1) โ†” ๐‘š = 0))
199151, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) = (0 + 1) โ†” ๐‘š = 0))
200195, 199bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) = 1 โ†” ๐‘š = 0))
201200necon3bbid 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ (๐‘š + 1) = 1 โ†” ๐‘š โ‰  0))
202193, 201mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐‘š + 1) = 1)
203202ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ยฌ (๐‘š + 1) = 1)
20414adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
205 elfzp12 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†” ((๐‘š + 1) = 1 โˆจ (๐‘š + 1) โˆˆ ((1 + 1)...(๐‘ + 1)))))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†” ((๐‘š + 1) = 1 โˆจ (๐‘š + 1) โˆˆ ((1 + 1)...(๐‘ + 1)))))
207206biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘š + 1) = 1 โˆจ (๐‘š + 1) โˆˆ ((1 + 1)...(๐‘ + 1))))
208207ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (ยฌ (๐‘š + 1) = 1 โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ ((1 + 1)...(๐‘ + 1))))
209203, 208mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ ((1 + 1)...(๐‘ + 1)))
210 df-2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
211210oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2...(๐‘ + 1)) = ((1 + 1)...(๐‘ + 1))
212209, 211eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ (2...(๐‘ + 1)))
213 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š + 1) โˆˆ V
214 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)}) = ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})
215 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (๐‘”โ€˜1) = (โ„Žโ€˜1))
216215eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘” = โ„Ž โ†’ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โ†” (โ„Žโ€˜1) = (๐‘š + 1)))
217 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = (โ„Žโ€˜(๐‘š + 1)))
218217neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘” = โ„Ž โ†’ ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1 โ†” (โ„Žโ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1))
219216, 218anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1) โ†” ((โ„Žโ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (โ„Žโ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)))
220219cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)} = {โ„Ž โˆˆ ๐ด โˆฃ ((โ„Žโ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (โ„Žโ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)}
221 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( I โ†พ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})) โˆช {โŸจ1, (๐‘š + 1)โŸฉ, โŸจ(๐‘š + 1), 1โŸฉ}) = (( I โ†พ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})) โˆช {โŸจ1, (๐‘š + 1)โŸฉ, โŸจ(๐‘š + 1), 1โŸฉ})
222 f1oeq1 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (๐‘”:(2...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(2...(๐‘ + 1)) โ†” ๐‘“:(2...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(2...(๐‘ + 1))))
223 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ง) = (๐‘”โ€˜๐‘ฆ))
224 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ฆ)
225223, 224neeq12d 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง โ†” (๐‘”โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ))
226225cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)
227 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
228227neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ โ†” (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ))
229228ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ))
230226, 229bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ))
231222, 230anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((๐‘”:(2...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(2...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง) โ†” (๐‘“:(2...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(2...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)))
232231cbvabv 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘” โˆฃ (๐‘”:(2...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(2...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง)} = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:(2...(๐‘ + 1))โ€“1-1-ontoโ†’(2...(๐‘ + 1)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...(๐‘ + 1))(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}
2333, 4, 10, 192, 212, 213, 214, 220, 221, 232subfacp1lem5 34175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)}) = (๐‘†โ€˜๐‘))
234217eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘” = โ„Ž โ†’ ((๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1 โ†” (โ„Žโ€˜(๐‘š + 1)) = 1))
235216, 234anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘” = โ„Ž โ†’ (((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1) โ†” ((โ„Žโ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (โ„Žโ€˜(๐‘š + 1)) = 1)))
236235cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)} = {โ„Ž โˆˆ ๐ด โˆฃ ((โ„Žโ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (โ„Žโ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}
237 f1oeq1 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (๐‘”:((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})โ€“1-1-ontoโ†’((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)}) โ†” ๐‘“:((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})โ€“1-1-ontoโ†’((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})))
238225cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โˆ€๐‘ง โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘”โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)
239228ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘”โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ))
240238, 239bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ))
241237, 240anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘” = ๐‘“ โ†’ ((๐‘”:((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})โ€“1-1-ontoโ†’((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)}) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง) โ†” (๐‘“:((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})โ€“1-1-ontoโ†’((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)}) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)))
242241cbvabv 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘” โˆฃ (๐‘”:((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})โ€“1-1-ontoโ†’((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)}) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘”โ€˜๐‘ง) โ‰  ๐‘ง)} = {๐‘“ โˆฃ (๐‘“:((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})โ€“1-1-ontoโ†’((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)}) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ((2...(๐‘ + 1)) โˆ– {(๐‘š + 1)})(๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}
2433, 4, 10, 192, 212, 213, 214, 236, 242subfacp1lem3 34173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)}) = (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
244233, 243oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  1)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ ((๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1) โˆง (๐‘”โ€˜(๐‘š + 1)) = 1)})) = ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
245191, 244eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}) = ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))
246162, 245eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (1 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}))
247246oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) + (1 ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) = (((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})))
248156, 161, 2473eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})))
249150, 248eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†” ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)})) = (((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) + (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) = (๐‘š + 1)}))))
250120, 249imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
251250ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
252251a2d 29 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
253119, 252syld 47 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
254253expcom 415 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))))
255254a2d 29 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...๐‘š)}) = ((๐‘š โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘š + 1))}) = (((๐‘š + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))))
25653, 63, 73, 83, 113, 255nnind 12230 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))))
2571, 256mpcom 38 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1))))))
25834, 257mpd 15 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘” โˆˆ ๐ด โˆฃ (๐‘”โ€˜1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1))}) = (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
259 nncn 12220 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
260 pncan 11466 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
261259, 153, 260sylancl 587 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
262261oveq1d 7424 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
26332, 258, 2623eqtrd 2777 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = (๐‘ ยท ((๐‘†โ€˜๐‘) + (๐‘†โ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  โŸจcop 4635   โ†ฆ cmpt 5232   I cid 5574   โ†พ cres 5679  โŸถwf 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โ™ฏchash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  subfacp1  34177
  Copyright terms: Public domain W3C validator