Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf1 46962
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6797 . . 3 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸)
2 fargshift.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
32fargshiftf 46961 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41, 3sylan2 591 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
5 ffn 6727 . . . . 5 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
6 fseq1hash 14388 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
75, 6sylan2 591 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
81, 7sylan2 591 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
9 eleq1 2813 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
10 oveq2 7431 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (1...(♯‘𝐹)) = (1...𝑁))
11 f1eq2 6793 . . . . . 6 ((1...(♯‘𝐹)) = (1...𝑁) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
139, 12anbi12d 630 . . . 4 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸)))
14 dff13 7269 . . . . . 6 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)))
15 fz0add1fz1 13751 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
16 fz0add1fz1 13751 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
1715, 16anim12dan 617 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))))
18 fveq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
1918eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙)))
20 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝑘 = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = 𝑙))
2119, 20imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙)))
22 fveq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (𝐹𝑙) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
2322eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
24 eqeq2 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 + 1) = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)))
2523, 24imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2621, 25rspc2v 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2726adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
282fargshiftfv 46960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
2928expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3029com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3231impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
3332impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
342fargshiftfv 46960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3534expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3837impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3938impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
4033, 39eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
43 elfzoelz 13681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4443zcnd 12714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
47 elfzoelz 13681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4847zcnd 12714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4948adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑧 ∈ ℂ)
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
51 1cnd 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 1 ∈ ℂ)
5246, 50, 513jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5453adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
55 addcan2 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5756imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧)))
5857biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧))
5942, 58sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6059ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6127, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6261exp31 418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6362com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6463imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6564com13 88 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6617, 65mpd 15 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6766expcom 412 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6867com13 88 . . . . . . 7 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6968ralrimdvv 3191 . . . . . 6 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7014, 69sylbi 216 . . . . 5 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7170impcom 406 . . . 4 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7213, 71biimtrrdi 253 . . 3 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
738, 72mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74 dff13 7269 . 2 (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
754, 73, 74sylanbrc 581 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  cmpt 5235  dom cdm 5681   Fn wfn 6548  wf 6549  1-1wf1 6550  cfv 6553  (class class class)co 7423  cc 11152  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157  0cn0 12519  ...cfz 13533  ..^cfzo 13676  chash 14342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-hash 14343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator