Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf1 46194
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6787 . . 3 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸)
2 fargshift.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
32fargshiftf 46193 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41, 3sylan2 593 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
5 ffn 6717 . . . . 5 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
6 fseq1hash 14338 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
75, 6sylan2 593 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
81, 7sylan2 593 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
9 eleq1 2821 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
10 oveq2 7419 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (1...(♯‘𝐹)) = (1...𝑁))
11 f1eq2 6783 . . . . . 6 ((1...(♯‘𝐹)) = (1...𝑁) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
139, 12anbi12d 631 . . . 4 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸)))
14 dff13 7256 . . . . . 6 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)))
15 fz0add1fz1 13704 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
16 fz0add1fz1 13704 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
1715, 16anim12dan 619 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))))
18 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
1918eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙)))
20 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝑘 = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = 𝑙))
2119, 20imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙)))
22 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (𝐹𝑙) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
2322eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
24 eqeq2 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 + 1) = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)))
2523, 24imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2621, 25rspc2v 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
282fargshiftfv 46192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
2928expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3029com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3231impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
3332impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
342fargshiftfv 46192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3534expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3837impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3938impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
4033, 39eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
43 elfzoelz 13634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4443zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
47 elfzoelz 13634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4847zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑧 ∈ ℂ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
51 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 1 ∈ ℂ)
5246, 50, 513jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
55 addcan2 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5756imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧)))
5857biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧))
5942, 58sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6059ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6127, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6261exp31 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6362com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6463imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6564com13 88 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6617, 65mpd 15 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6766expcom 414 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6867com13 88 . . . . . . 7 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6968ralrimdvv 3201 . . . . . 6 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7014, 69sylbi 216 . . . . 5 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7170impcom 408 . . . 4 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7213, 71syl6bir 253 . . 3 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
738, 72mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74 dff13 7256 . 2 (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
754, 73, 74sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  cmpt 5231  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  wf 6539  1-1wf1 6540  cfv 6543  (class class class)co 7411  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  0cn0 12474  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator