Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf1 43478
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6568 . . 3 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸)
2 fargshift.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
32fargshiftf 43477 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41, 3sylan2 592 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
5 ffn 6507 . . . . 5 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
6 fseq1hash 13725 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
75, 6sylan2 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
81, 7sylan2 592 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
9 eleq1 2897 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
10 oveq2 7153 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (1...(♯‘𝐹)) = (1...𝑁))
11 f1eq2 6564 . . . . . 6 ((1...(♯‘𝐹)) = (1...𝑁) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
139, 12anbi12d 630 . . . 4 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸)))
14 dff13 7004 . . . . . 6 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)))
15 fz0add1fz1 13095 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
16 fz0add1fz1 13095 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
1715, 16anim12dan 618 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))))
18 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
1918eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙)))
20 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝑘 = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = 𝑙))
2119, 20imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙)))
22 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (𝐹𝑙) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
2322eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
24 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 + 1) = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)))
2523, 24imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2621, 25rspc2v 3630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
282fargshiftfv 43476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
2928expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3029com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3231impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
3332impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
342fargshiftfv 43476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3534expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3837impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3938impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
4033, 39eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
43 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4443zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
47 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4847zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑧 ∈ ℂ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
51 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 1 ∈ ℂ)
5246, 50, 513jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
55 addcan2 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5756imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧)))
5857biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧))
5942, 58sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6059ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6127, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6261exp31 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6362com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6463imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6564com13 88 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6617, 65mpd 15 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6766expcom 414 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6867com13 88 . . . . . . 7 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6968ralrimdvv 3190 . . . . . 6 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(♯‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7014, 69sylbi 218 . . . . 5 (𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7170impcom 408 . . . 4 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7213, 71syl6bir 255 . . 3 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
738, 72mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74 dff13 7004 . 2 (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
754, 73, 74sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cmpt 5137  dom cdm 5548   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  0cn0 11885  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator