Theorem atcv0eq 32993

Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (Contributed by NM, 26-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atcv0eq	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem atcv0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atnemeq0 32991	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
2		atelch 32958	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 𝐴 ∈ Cℋ )
3		cvp 32989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
4	2, 3	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
5		atcv0 32956	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 0ℋ ⋖ℋ 𝐴)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → 0ℋ ⋖ℋ 𝐴)
7	6	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
8	1, 4, 7	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
9		atelch 32958	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chjcl 31971	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
11		h0elch 31869	. . . . . . 7 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
12		cvntr 32906	. . . . . . 7 ⊢ ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ¬ 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
13	11, 12	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ¬ 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
14	10, 13	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ¬ 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
15	2, 9, 14	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((0ℋ ⋖ℋ 𝐴 ∧ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ¬ 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
16	8, 15	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
17	16	necon4ad 2977	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
18		oveq1 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐵))
19		chjidm 32134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐵 ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
20	9, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
21	18, 20	sylan9eq 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
22	21	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
23	22	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ HAtoms))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ∈ HAtoms ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ HAtoms)))
25	24	ibd 272	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ HAtoms))
26		atcv0 32956	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ HAtoms → 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	25, 26	syl6com 38	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 = 𝐵 → 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28	27	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 = 𝐵 → 0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
29	17, 28	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (0ℋ ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   ∩ cin 4091   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427   C_ℋ cch 31543   ∨_ℋ chj 31547  0_ℋc0h 31549   ⋖_ℋ ccv 31578  HAtomscat 31579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cc 10523  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290  ax-hilex 31613  ax-hfvadd 31614  ax-hvcom 31615  ax-hvass 31616  ax-hv0cl 31617  ax-hvaddid 31618  ax-hfvmul 31619  ax-hvmulid 31620  ax-hvmulass 31621  ax-hvdistr1 31622  ax-hvdistr2 31623  ax-hvmul0 31624  ax-hfi 31693  ax-his1 31696  ax-his2 31697  ax-his3 31698  ax-his4 31699  ax-hcompl 31816

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-acn 10033  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-sum 15866  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-cnfld 21691  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-lm 23559  df-haus 23645  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-cfil 25588  df-cau 25589  df-cmet 25590  df-grpo 31107  df-gid 31108  df-ginv 31109  df-gdiv 31110  df-ablo 31159  df-vc 31173  df-nv 31206  df-va 31209  df-ba 31210  df-sm 31211  df-0v 31212  df-vs 31213  df-nmcv 31214  df-ims 31215  df-dip 31315  df-ssp 31336  df-ph 31427  df-cbn 31477  df-hnorm 31582  df-hba 31583  df-hvsub 31585  df-hlim 31586  df-hcau 31587  df-sh 31821  df-ch 31835  df-oc 31866  df-ch0 31867  df-shs 31922  df-span 31923  df-chj 31924  df-chsup 31925  df-pjh 32009  df-cv 32893  df-at 32952

This theorem is used by:  atcv1  32994