Theorem olj02 39182

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39169	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		olop 39170	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4		olj0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		olj0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 39140	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		olj0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 10	latjcom 18517	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
13	4, 10, 5	olj01 39181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
14	12, 13	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  joincjn 18381  0.cp0 18493  Latclat 18501  OPcops 39128  OLcol 39130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-oposet 39132  df-ol 39134

This theorem is referenced by:  atle  39393  athgt  39413  pmapjat1  39810  atmod1i1m  39815  llnexchb2lem  39825  lhp2at0  39989  lhpelim  39994  4atex2-0aOLDN  40035  cdleme2  40185  cdleme15b  40232  cdleme22cN  40299  cdleme22d  40300  cdleme35d  40409  cdlemeg46frv  40482  cdlemg2fv2  40557  cdlemg2m  40561  cdlemg10bALTN  40593  cdlemh2  40773  cdlemh  40774  cdlemk9  40796  cdlemk9bN  40797  dia2dimlem1  41021