Theorem olj02 39192

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39179	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		olop 39180	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4		olj0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		olj0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 39150	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		olj0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 10	latjcom 18382	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
13	4, 10, 5	olj01 39191	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
14	12, 13	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  joincjn 18248  0.cp0 18358  Latclat 18366  OPcops 39138  OLcol 39140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18231  df-poset 18250  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18367  df-oposet 39142  df-ol 39144

This theorem is referenced by:  atle  39403  athgt  39423  pmapjat1  39820  atmod1i1m  39825  llnexchb2lem  39835  lhp2at0  39999  lhpelim  40004  4atex2-0aOLDN  40045  cdleme2  40195  cdleme15b  40242  cdleme22cN  40309  cdleme22d  40310  cdleme35d  40419  cdlemeg46frv  40492  cdlemg2fv2  40567  cdlemg2m  40571  cdlemg10bALTN  40603  cdlemh2  40783  cdlemh  40784  cdlemk9  40806  cdlemk9bN  40807  dia2dimlem1  41031