Theorem olj02 39226

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39213	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		olop 39214	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4		olj0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		olj0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 39184	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		olj0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 10	latjcom 18413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
13	4, 10, 5	olj01 39225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
14	12, 13	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  joincjn 18279  0.cp0 18389  Latclat 18397  OPcops 39172  OLcol 39174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-oposet 39176  df-ol 39178

This theorem is referenced by:  atle  39437  athgt  39457  pmapjat1  39854  atmod1i1m  39859  llnexchb2lem  39869  lhp2at0  40033  lhpelim  40038  4atex2-0aOLDN  40079  cdleme2  40229  cdleme15b  40276  cdleme22cN  40343  cdleme22d  40344  cdleme35d  40453  cdlemeg46frv  40526  cdlemg2fv2  40601  cdlemg2m  40605  cdlemg10bALTN  40637  cdlemh2  40817  cdlemh  40818  cdlemk9  40840  cdlemk9bN  40841  dia2dimlem1  41065