Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 38609
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 38596 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 38597 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 38567 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
87adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
9 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 olj0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
114, 10latjcom 18412 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
134, 10, 5olj01 38608 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2766 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  joincjn 18276  0.cp0 18388  Latclat 18396  OPcops 38555  OLcol 38557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-oposet 38559  df-ol 38561
This theorem is referenced by:  atle  38820  athgt  38840  pmapjat1  39237  atmod1i1m  39242  llnexchb2lem  39252  lhp2at0  39416  lhpelim  39421  4atex2-0aOLDN  39462  cdleme2  39612  cdleme15b  39659  cdleme22cN  39726  cdleme22d  39727  cdleme35d  39836  cdlemeg46frv  39909  cdlemg2fv2  39984  cdlemg2m  39988  cdlemg10bALTN  40020  cdlemh2  40200  cdlemh  40201  cdlemk9  40223  cdlemk9bN  40224  dia2dimlem1  40448
  Copyright terms: Public domain W3C validator