Theorem olj02 39602

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39589	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		olop 39590	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4		olj0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		olj0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 39560	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		olj0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 10	latjcom 18382	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
13	4, 10, 5	olj01 39601	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
14	12, 13	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  joincjn 18246  0.cp0 18356  Latclat 18366  OPcops 39548  OLcol 39550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-lat 18367  df-oposet 39552  df-ol 39554

This theorem is referenced by:  atle  39812  athgt  39832  pmapjat1  40229  atmod1i1m  40234  llnexchb2lem  40244  lhp2at0  40408  lhpelim  40413  4atex2-0aOLDN  40454  cdleme2  40604  cdleme15b  40651  cdleme22cN  40718  cdleme22d  40719  cdleme35d  40828  cdlemeg46frv  40901  cdlemg2fv2  40976  cdlemg2m  40980  cdlemg10bALTN  41012  cdlemh2  41192  cdlemh  41193  cdlemk9  41215  cdlemk9bN  41216  dia2dimlem1  41440