Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 38600
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olj0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
olj0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 38587 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 38588 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
64, 5op0cl 38558 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 0 ∈ 𝐡)
87adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
9 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 olj0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
114, 10latjcom 18408 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
134, 10, 5olj01 38599 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2764 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  joincjn 18272  0.cp0 18384  Latclat 18392  OPcops 38546  OLcol 38548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-lat 18393  df-oposet 38550  df-ol 38552
This theorem is referenced by:  atle  38811  athgt  38831  pmapjat1  39228  atmod1i1m  39233  llnexchb2lem  39243  lhp2at0  39407  lhpelim  39412  4atex2-0aOLDN  39453  cdleme2  39603  cdleme15b  39650  cdleme22cN  39717  cdleme22d  39718  cdleme35d  39827  cdlemeg46frv  39900  cdlemg2fv2  39975  cdlemg2m  39979  cdlemg10bALTN  40011  cdlemh2  40191  cdlemh  40192  cdlemk9  40214  cdlemk9bN  40215  dia2dimlem1  40439
  Copyright terms: Public domain W3C validator