Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 35380
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 35367 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 474 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 35368 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 35338 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
87adantr 474 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
9 simpr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 olj0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
114, 10latjcom 17445 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1439 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
134, 10, 5olj01 35379 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2814 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  joincjn 17330  0.cp0 17423  Latclat 17431  OPcops 35326  OLcol 35328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-lat 17432  df-oposet 35330  df-ol 35332
This theorem is referenced by:  atle  35590  athgt  35610  pmapjat1  36007  atmod1i1m  36012  llnexchb2lem  36022  lhp2at0  36186  lhpelim  36191  4atex2-0aOLDN  36232  cdleme2  36382  cdleme15b  36429  cdleme22cN  36496  cdleme22d  36497  cdleme35d  36606  cdlemeg46frv  36679  cdlemg2fv2  36754  cdlemg2m  36758  cdlemg10bALTN  36790  cdlemh2  36970  cdlemh  36971  cdlemk9  36993  cdlemk9bN  36994  dia2dimlem1  37218
  Copyright terms: Public domain W3C validator