Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 36470
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 36457 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 36458 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 36428 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
87adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
9 simpr 488 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 olj0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
114, 10latjcom 17669 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
134, 10, 5olj01 36469 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2859 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  joincjn 17554  0.cp0 17647  Latclat 17655  OPcops 36416  OLcol 36418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-proset 17538  df-poset 17556  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-oposet 36420  df-ol 36422
This theorem is referenced by:  atle  36680  athgt  36700  pmapjat1  37097  atmod1i1m  37102  llnexchb2lem  37112  lhp2at0  37276  lhpelim  37281  4atex2-0aOLDN  37322  cdleme2  37472  cdleme15b  37519  cdleme22cN  37586  cdleme22d  37587  cdleme35d  37696  cdlemeg46frv  37769  cdlemg2fv2  37844  cdlemg2m  37848  cdlemg10bALTN  37880  cdlemh2  38060  cdlemh  38061  cdlemk9  38083  cdlemk9bN  38084  dia2dimlem1  38308
  Copyright terms: Public domain W3C validator