Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 38698
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olj0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
olj0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 38685 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 38686 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
64, 5op0cl 38656 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 0 ∈ 𝐡)
87adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
9 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 olj0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
114, 10latjcom 18439 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
134, 10, 5olj01 38697 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2768 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  joincjn 18303  0.cp0 18415  Latclat 18423  OPcops 38644  OLcol 38646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-lat 18424  df-oposet 38648  df-ol 38650
This theorem is referenced by:  atle  38909  athgt  38929  pmapjat1  39326  atmod1i1m  39331  llnexchb2lem  39341  lhp2at0  39505  lhpelim  39510  4atex2-0aOLDN  39551  cdleme2  39701  cdleme15b  39748  cdleme22cN  39815  cdleme22d  39816  cdleme35d  39925  cdlemeg46frv  39998  cdlemg2fv2  40073  cdlemg2m  40077  cdlemg10bALTN  40109  cdlemh2  40289  cdlemh  40290  cdlemk9  40312  cdlemk9bN  40313  dia2dimlem1  40537
  Copyright terms: Public domain W3C validator