Theorem olj02 39273

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39260	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		olop 39261	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4		olj0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		olj0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 39231	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		olj0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 10	latjcom 18353	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
13	4, 10, 5	olj01 39272	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
14	12, 13	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  joincjn 18217  0.cp0 18327  Latclat 18337  OPcops 39219  OLcol 39221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-oposet 39223  df-ol 39225

This theorem is referenced by:  atle  39483  athgt  39503  pmapjat1  39900  atmod1i1m  39905  llnexchb2lem  39915  lhp2at0  40079  lhpelim  40084  4atex2-0aOLDN  40125  cdleme2  40275  cdleme15b  40322  cdleme22cN  40389  cdleme22d  40390  cdleme35d  40499  cdlemeg46frv  40572  cdlemg2fv2  40647  cdlemg2m  40651  cdlemg10bALTN  40683  cdlemh2  40863  cdlemh  40864  cdlemk9  40886  cdlemk9bN  40887  dia2dimlem1  41111