Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 37691
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olj0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
olj0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 37678 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 482 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 37679 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
64, 5op0cl 37649 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 0 ∈ 𝐡)
87adantr 482 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
9 simpr 486 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 olj0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
114, 10latjcom 18337 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 0 ))
134, 10, 5olj01 37690 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2777 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  joincjn 18201  0.cp0 18313  Latclat 18321  OPcops 37637  OLcol 37639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18185  df-poset 18203  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-lat 18322  df-oposet 37641  df-ol 37643
This theorem is referenced by:  atle  37902  athgt  37922  pmapjat1  38319  atmod1i1m  38324  llnexchb2lem  38334  lhp2at0  38498  lhpelim  38503  4atex2-0aOLDN  38544  cdleme2  38694  cdleme15b  38741  cdleme22cN  38808  cdleme22d  38809  cdleme35d  38918  cdlemeg46frv  38991  cdlemg2fv2  39066  cdlemg2m  39070  cdlemg10bALTN  39102  cdlemh2  39282  cdlemh  39283  cdlemk9  39305  cdlemk9bN  39306  dia2dimlem1  39530
  Copyright terms: Public domain W3C validator