Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ps-2b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ps-2b 38656
Description: Variation of projective geometry axiom ps-2 38652. (Contributed by NM, 3-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ps-2b.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ps-2b.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
ps-2b.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
ps-2b.z 0 = (0.β€˜πΎ)
ps-2b.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ps-2b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  0 )
Proof of Theorem ps-2b
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp13 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 simp21 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
52, 3, 43jca 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
6 simp22 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
7 simp23 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
86, 7jca 512 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
9 simp31 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
10 simp32 1210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
119, 10jca 512 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇))
12 simp33 1211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
13 ps-2b.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 ps-2b.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 ps-2b.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1613, 14, 15ps-2 38652 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
171, 5, 8, 11, 12, 16syl32anc 1378 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
18 simp111 1302 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 hlatl 38533 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2118hllatd 38537 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
22 simp112 1303 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
23 simp121 1305 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 14, 15hlatjcl 38540 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2618, 22, 23, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
27 simp122 1306 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
28 simp123 1307 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
2924, 14, 15hlatjcl 38540 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3018, 27, 28, 29syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 ps-2b.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3224, 31latmcl 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3321, 26, 30, 32syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
34 simp2 1137 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
35 simp3 1138 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
3624, 15atbase 38462 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3734, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3824, 13, 31latlem12 18423 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))))
3921, 37, 26, 30, 38syl13anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))))
4035, 39mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)))
41 ps-2b.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
4224, 13, 41, 15atlen0 38483 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑒 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  0 )
4320, 33, 34, 40, 42syl31anc 1373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  0 )
4443rexlimdv3a 3159 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑒 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  0 ))
4517, 44mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  0.cp0 18380  Latclat 18388  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524
This theorem is referenced by:  ps-2c  38702
  Copyright terms: Public domain W3C validator