Theorem axcc 10464

Description: Although CC can be proven trivially using ac5 10483, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcc	⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem axcc

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑥 ∖ {∅}) = (𝑥 ∖ {∅})
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ω, 𝑦 ∈ ∪ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣‘𝑡)) = (𝑡 ∈ ω, 𝑦 ∈ ∪ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣‘𝑡))
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (◡𝑣‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (◡𝑣‘𝑤)))
4	1, 2, 3	axcclem 10463	1 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  {csn 4587  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  suc csuc 6363  ‘cfv 6537   ∈ cmpo 7419  ωcom 7866   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-dc 10452

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960

This theorem is used by: (None)