MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc 10395
Description: Although CC can be proven trivially using ac5 10414, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcc (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem axcc
Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (𝑥 ∖ {∅}) = (𝑥 ∖ {∅})
2 eqid 2737 . 2 (𝑡 ∈ ω, 𝑦 (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣𝑡)) = (𝑡 ∈ ω, 𝑦 (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣𝑡))
3 eqid 2737 . 2 (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (𝑣𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (𝑣𝑤)))
41, 2, 3axcclem 10394 1 (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  cdif 3908  c0 4283  {csn 4587   cuni 4866   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ccnv 5633  suc csuc 6320  cfv 6497  cmpo 7360  ωcom 7803  cen 8881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-dc 10383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator