MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcc 10390
Description: Although CC can be proven trivially using ac5 10409, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcc (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem axcc
Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (𝑥 ∖ {∅}) = (𝑥 ∖ {∅})
2 eqid 2736 . 2 (𝑡 ∈ ω, 𝑦 (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣𝑡)) = (𝑡 ∈ ω, 𝑦 (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣𝑡))
3 eqid 2736 . 2 (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (𝑣𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (𝑣𝑤)))
41, 2, 3axcclem 10389 1 (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1781  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  cdif 3905  c0 4280  {csn 4584   cuni 4863   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ccnv 5630  suc csuc 6317  cfv 6493  cmpo 7355  ωcom 7798  cen 8876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-dc 10378
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator