Theorem axcc 9958

Description: Although CC can be proven trivially using ac5 9977, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcc	⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem axcc

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑥 ∖ {∅}) = (𝑥 ∖ {∅})
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ω, 𝑦 ∈ ∪ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣‘𝑡)) = (𝑡 ∈ ω, 𝑦 ∈ ∪ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣‘𝑡))
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (◡𝑣‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (◡𝑣‘𝑤)))
4	1, 2, 3	axcclem 9957	1 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ∖ cdif 3840  ∅c0 4211  {csn 4516  ∪ cuni 4796   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5524  suc csuc 6174  ‘cfv 6339   ∈ cmpo 7172  ωcom 7599   ≈ cen 8552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-dc 9946

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559

This theorem is referenced by: (None)