Theorem axcc 10566

Description: Although CC can be proven trivially using ac5 10585, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcc	⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem axcc

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑥 ∖ {∅}) = (𝑥 ∖ {∅})
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ω, 𝑦 ∈ ∪ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣‘𝑡)) = (𝑡 ∈ ω, 𝑦 ∈ ∪ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑣‘𝑡))
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (◡𝑣‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝑥 ∖ {∅}) ↦ (𝑢‘suc (◡𝑣‘𝑤)))
4	1, 2, 3	axcclem 10565	1 ⊢ (𝑥 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5655  suc csuc 6385  ‘cfv 6561   ∈ cmpo 7448  ωcom 7904   ≈ cen 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-dc 10554

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008

This theorem is used by: (None)