Theorem axinf2 9328

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 9326 and Regularity ax-reg 9281.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 9329 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axinf2	⊢ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7710	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7711	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
3	2	ax-gen 1799	. . 3 ⊢ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
4		zfinf 9327	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
5	4	inf2 9311	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
6	5	inf3 9323	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
7		eleq2 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ω → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ ω))
8		eleq2 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ ω))
9		eleq2 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ suc 𝑦 ∈ ω))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → ((𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)))
11	10	albidv 1924	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ω → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)))
12	7, 11	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ω → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (∅ ∈ ω ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω))))
13	6, 12	spcev 3535	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)) → ∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)))
14	1, 3, 13	mp2an 688	. 2 ⊢ ∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥))
15		0el 4291	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
16		df-rex 3069	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	15, 16	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		sucel 6324	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))
19		df-rex 3069	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))
20	18, 19	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))
21	20	imbi2i 335	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))
22	21	albii 1823	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))
23	17, 22	anbi12i 626	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))))
24	23	exbii 1851	. 2 ⊢ (∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))))
25	14, 24	mpbi 229	1 ⊢ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ∅c0 4253  suc csuc 6253  ωcom 7687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf 9326

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212

This theorem is referenced by: (None)