Theorem axinf2 9632

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 9630 and Regularity ax-reg 9584.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 9633 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axinf2	⊢ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7873	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7875	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
3	2	ax-gen 1789	. . 3 ⊢ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
4		zfinf 9631	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
5	4	inf2 9615	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
6	5	inf3 9627	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
7		eleq2 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ω → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ ω))
8		eleq2 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ ω))
9		eleq2 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ suc 𝑦 ∈ ω))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → ((𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)))
11	10	albidv 1915	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ω → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)))
12	7, 11	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ω → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (∅ ∈ ω ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω))))
13	6, 12	spcev 3588	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)) → ∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)))
14	1, 3, 13	mp2an 689	. 2 ⊢ ∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥))
15		0el 4353	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
16		df-rex 3063	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	15, 16	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		sucel 6429	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))
19		df-rex 3063	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))
20	18, 19	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))
21	20	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))
22	21	albii 1813	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))
23	17, 22	anbi12i 626	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))))
24	23	exbii 1842	. 2 ⊢ (∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))))
25	14, 24	mpbi 229	1 ⊢ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  ∅c0 4315  suc csuc 6357  ωcom 7849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf 9630

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406

This theorem is referenced by: (None)