Theorem axinf2 9552

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 9550 and Regularity ax-reg 9500.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 9553 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axinf2	⊢ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7833	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7834	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
3	2	ax-gen 1797	. . 3 ⊢ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
4		zfinf 9551	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
5	4	inf2 9535	. . . . 5 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
6	5	inf3 9547	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
7		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ω → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ ω))
8		eleq2 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ ω))
9		eleq2 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ suc 𝑦 ∈ ω))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → ((𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)))
11	10	albidv 1922	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ω → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)))
12	7, 11	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ω → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (∅ ∈ ω ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω))))
13	6, 12	spcev 3549	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)) → ∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)))
14	1, 3, 13	mp2an 693	. 2 ⊢ ∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥))
15		0el 4304	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
16		df-rex 3063	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
17	15, 16	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
18		sucel 6393	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))
19		df-rex 3063	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))
20	18, 19	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))
21	20	imbi2i 336	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))
22	21	albii 1821	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))
23	17, 22	anbi12i 629	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))))
24	23	exbii 1850	. 2 ⊢ (∃𝑥(∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → suc 𝑦 ∈ 𝑥)) ↔ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))))
25	14, 24	mpbi 230	1 ⊢ ∃𝑥(∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ∅c0 4274  suc csuc 6319  ωcom 7810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-reg 9500  ax-inf 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342

This theorem is referenced by: (None)