Theorem bitsf 16387

Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf	⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0

Proof of Theorem bitsf

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 16382	. 2 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))})
2		nn0ex 12434	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		ssrab2 4021	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ⊆ ℕ0
4	2, 3	elpwi2 5272	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7058	1 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   / cdiv 11798  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212  bitscbits 16379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-n0 12429  df-bits 16382

This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16404  bitsf1  16406  eulerpartgbij  34532  eulerpartlemmf  34535