MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsf 16464
Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0

Proof of Theorem bitsf
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 16459 . 2 bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))})
2 nn0ex 12532 . . . 4 0 ∈ V
3 ssrab2 4080 . . . 4 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ⊆ ℕ0
42, 3elpwi2 5335 . . 3 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0
54a1i 11 . 2 (𝑛 ∈ ℤ → {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0)
61, 5fmpti 7132 1 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cfl 13830  cexp 14102  cdvds 16290  bitscbits 16456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-n0 12527  df-bits 16459
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16481  bitsf1  16483  eulerpartgbij  34374  eulerpartlemmf  34377
  Copyright terms: Public domain W3C validator