MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsf 16371
Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
Proof of Theorem bitsf
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 16366 . 2 bits = (𝑛 ∈ β„€ ↦ {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))})
2 nn0ex 12477 . . . 4 β„•0 ∈ V
3 ssrab2 4070 . . . 4 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))} βŠ† β„•0
42, 3elpwi2 5337 . . 3 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))} ∈ 𝒫 β„•0
54a1i 11 . 2 (𝑛 ∈ β„€ β†’ {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))} ∈ 𝒫 β„•0)
61, 5fmpti 7104 1 bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  π’« cpw 4595   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   / cdiv 11870  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  βŒŠcfl 13756  β†‘cexp 14028   βˆ₯ cdvds 16200  bitscbits 16363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-1cn 11165  ax-addcl 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12212  df-n0 12472  df-bits 16366
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16388  bitsf1  16390  eulerpartgbij  33890  eulerpartlemmf  33893
  Copyright terms: Public domain W3C validator