MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsf 16364
Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
Proof of Theorem bitsf
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 16359 . 2 bits = (𝑛 ∈ β„€ ↦ {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))})
2 nn0ex 12474 . . . 4 β„•0 ∈ V
3 ssrab2 4076 . . . 4 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))} βŠ† β„•0
42, 3elpwi2 5345 . . 3 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))} ∈ 𝒫 β„•0
54a1i 11 . 2 (𝑛 ∈ β„€ β†’ {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘˜)))} ∈ 𝒫 β„•0)
61, 5fmpti 7108 1 bits:β„€βŸΆπ’« β„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   / cdiv 11867  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  βŒŠcfl 13751  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  bitscbits 16356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12209  df-n0 12469  df-bits 16359
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  16381  bitsf1  16383  eulerpartgbij  33359  eulerpartlemmf  33362
  Copyright terms: Public domain W3C validator