Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsf 15769
 Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0

Proof of Theorem bitsf
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 15764 . 2 bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))})
2 nn0ex 11895 . . . 4 0 ∈ V
3 ssrab2 4010 . . . 4 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ⊆ ℕ0
42, 3elpwi2 5216 . . 3 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0
54a1i 11 . 2 (𝑛 ∈ ℤ → {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0)
61, 5fmpti 6857 1 bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2112  {crab 3113  Vcvv 3444  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   / cdiv 11290  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ⌊cfl 13159  ↑cexp 13429   ∥ cdvds 15602  bitscbits 15761 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-1cn 10588  ax-addcl 10590 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-nn 11630  df-n0 11890  df-bits 15764 This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  15786  bitsf1  15788  eulerpartgbij  31738  eulerpartlemmf  31741
 Copyright terms: Public domain W3C validator