MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsss 16311
Description: The set of bits of an integer is a subset of β„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsss (bitsβ€˜π‘) βŠ† β„•0

Proof of Theorem bitsss
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 16309 . . 3 (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
21simp2bi 1147 . 2 (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ π‘š ∈ β„•0)
32ssriv 3949 1 (bitsβ€˜π‘) βŠ† β„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   / cdiv 11817  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  βŒŠcfl 13701  β†‘cexp 13973   βˆ₯ cdvds 16141  bitscbits 16304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-n0 12419  df-bits 16307
This theorem is referenced by:  bitsinv2  16328  bitsf1ocnv  16329  sadaddlem  16351  sadadd  16352  bitsres  16358  bitsshft  16360  smumullem  16377  smumul  16378  eulerpartlemgc  33019  eulerpartlemgvv  33033  eulerpartlemgh  33035  eulerpartlemgs2  33037
  Copyright terms: Public domain W3C validator