Theorem bitsss 16464

Description: The set of bits of an integer is a subset of ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsss	⊢ (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0

Proof of Theorem bitsss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 16462	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2	1	simp2bi 1146	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3	2	ssriv 3986	1 ⊢ (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   / cdiv 11921  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ⌊cfl 13831  ↑cexp 14103   ∥ cdvds 16291  bitscbits 16457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-n0 12529  df-bits 16460

This theorem is referenced by:  bitsinv2  16481  bitsf1ocnv  16482  sadaddlem  16504  sadadd  16505  bitsres  16511  bitsshft  16513  smumullem  16530  smumul  16531  eulerpartlemgc  34365  eulerpartlemgvv  34379  eulerpartlemgh  34381  eulerpartlemgs2  34383