Theorem bitsss 16403

Description: The set of bits of an integer is a subset of ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsss	⊢ (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0

Proof of Theorem bitsss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 16401	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2	1	simp2bi 1146	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3	2	ssriv 3953	1 ⊢ (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   / cdiv 11842  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ⌊cfl 13759  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229  bitscbits 16396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-n0 12450  df-bits 16399

This theorem is referenced by:  bitsinv2  16420  bitsf1ocnv  16421  sadaddlem  16443  sadadd  16444  bitsres  16450  bitsshft  16452  smumullem  16469  smumul  16470  eulerpartlemgc  34360  eulerpartlemgvv  34374  eulerpartlemgh  34376  eulerpartlemgs2  34378