Theorem bitsss 15775

Description: The set of bits of an integer is a subset of ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsss	⊢ (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0

Proof of Theorem bitsss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 15773	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2	1	simp2bi 1142	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3	2	ssriv 3971	1 ⊢ (bits‘𝑁) ⊆ ℕ0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   / cdiv 11297  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ⌊cfl 13161  ↑cexp 13430   ∥ cdvds 15607  bitscbits 15768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639  df-n0 11899  df-bits 15771

This theorem is referenced by:  bitsinv2  15792  bitsf1ocnv  15793  sadaddlem  15815  sadadd  15816  bitsres  15822  bitsshft  15824  smumullem  15841  smumul  15842  eulerpartlemgc  31620  eulerpartlemgvv  31634  eulerpartlemgh  31636  eulerpartlemgs2  31638