Theorem bits0 16336

Description: Value of the zeroth bit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bits0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem bits0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12393	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		bitsval2 16333	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
4		2cn 12197	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		exp0 13969	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
7	6	oveq2i 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1)
8		zcn 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	div1d 11886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 1) = 𝑁)
10	7, 9	eqtrid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
11	10	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
12		flid 13709	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
13	11, 12	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = 𝑁)
14	13	breq2d 5103	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ 2 ∥ 𝑁))
15	14	notbid 318	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
16	3, 15	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   / cdiv 11771  2c2 12177  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  ⌊cfl 13691  ↑cexp 13965   ∥ cdvds 16160  bitscbits 16327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-bits 16330

This theorem is referenced by:  bits0e  16337  bits0o  16338