Theorem bitscmp 16637

Description: The bit complement of 𝑁 is -𝑁 − 1. (Thus, by bitsfi 16636, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘( -𝑁 − 1)))

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 16624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2		2z 12755	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
4		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 12830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		2nn 12443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
8		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
9	7, 8	nnexpcld 14416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
10	5, 9	nndivred 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
12		dvdsnegb 16472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
13	3, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
14	13	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
15	11	znegcld 12832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
16		oddm1even 16542	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
18		flltp1 13967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
19	10, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
20	11	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
21		1red 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	readdcld 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ∈ ℝ)
23	10, 22	ltnegd 11921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ↔ -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚))))
24	19, 23	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚)))
25	20	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
26	21	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	negdi2d 11710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) = ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
28	5	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	9	nncnd 12378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
30	9	nnne0d 12415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
31	28, 29, 30	divnegd 12133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) = ( -𝑁 / (2↑𝑚)))
32	24, 27, 31	3brtr3d 5139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < ( -𝑁 / (2↑𝑚)))
33		1zzd 12754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
34	15, 33	zsubcld 12835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ)
35	34	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℝ)
36	5	renegcld 11770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
37	9	nnrpd 13189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
38	35, 36, 37	ltmuldivd 13238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < ( -𝑁 / (2↑𝑚))))
39	32, 38	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁)
40	9	nnzd 12746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
41	34, 40	zmulcld 12836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ)
42	4	znegcld 12832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
43		zltlem1 12776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ ( -𝑁 − 1)))
44	41, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ ( -𝑁 − 1)))
45	39, 44	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ ( -𝑁 − 1))
46	36, 21	resubcld 11771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -𝑁 − 1) ∈ ℝ)
47	35, 46, 37	lemuldivd 13240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ ( -𝑁 − 1) ↔ ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))
48	45, 47	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))
49		flle 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
50	10, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
51	20, 10	lenegd 11922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ↔ -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
52	50, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
53	31, 52	eqbrtrrd 5132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
54	20	renegcld 11770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
55	36, 54, 37	ledivmuld 13244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
56	53, 55	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
57	40, 15	zmulcld 12836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ)
58		zlem1lt 12775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ) → ( -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ ( -𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
59	42, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ ( -𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
60	56, 59	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ( -𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
61	46, 54, 37	ltdivmuld 13242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ( -𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
62	60, 61	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
63	25	negcld 11683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
64	63, 26	npcand 11700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1) = -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
65	62, 64	breqtrrd 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))
66	46, 9	nndivred 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
67		flbi 13983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
68	66, 34, 67	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ (( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < (( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
69	48, 65, 68	mpbir2and 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
70	69	breq2d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ ( -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
71	17, 70	bitr4d 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
72	1, 14, 71	3bitrd 308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
73	72	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
74	73	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
75		znegcl 12758	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
76		1zzd 12754	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
77	75, 76	zsubcld 12835	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -𝑁 − 1) ∈ ℤ)
78	77	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ (( -𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
79	74, 78	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ (( -𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
80		eldif 4052	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)))
81		bitsval 16623	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘( -𝑁 − 1)) ↔ (( -𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
82		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((( -𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ (( -𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
83	81, 82	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘( -𝑁 − 1)) ↔ (( -𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(( -𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
84	79, 80, 83	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ 𝑚 ∈ (bits‘( -𝑁 − 1))))
85	84	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘( -𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   -cneg 11569   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ⌊cfl 13957  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451  bitscbits 16618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-dvds 16452  df-bits 16621

This theorem is used by:  m1bits  16639  bitsf1  16645