Theorem bitscmp 16444

Description: The bit complement of 𝑁 is -𝑁 − 1. (Thus, by bitsfi 16443, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 16431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2		2z 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
4		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		2nn 12277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
8		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
9	7, 8	nnexpcld 14244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
10	5, 9	nndivred 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
12		dvdsnegb 16279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
13	3, 11, 12	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
14	13	notbid 320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
15	11	znegcld 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
16		oddm1even 16349	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
18		flltp1 13796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
20	11	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
21		1red 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	readdcld 11197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ∈ ℝ)
23	10, 22	ltnegd 11751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ↔ -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚))))
24	19, 23	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚)))
25	20	recnd 11196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
26	21	recnd 11196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	negdi2d 11542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
28	5	recnd 11196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	9	nncnd 12212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
30	9	nnne0d 12249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
31	28, 29, 30	divnegd 11966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) = (-𝑁 / (2↑𝑚)))
32	24, 27, 31	3brtr3d 5121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚)))
33		1zzd 12588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
34	15, 33	zsubcld 12668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ)
35	34	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℝ)
36	5	renegcld 11600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
37	9	nnrpd 13021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
38	35, 36, 37	ltmuldivd 13070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚))))
39	32, 38	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁)
40	9	nnzd 12580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
41	34, 40	zmulcld 12669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ)
42	4	znegcld 12665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
43		zltlem1 12610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
44	41, 42, 43	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
45	39, 44	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1))
46	36, 21	resubcld 11601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) ∈ ℝ)
47	35, 46, 37	lemuldivd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1) ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))
48	45, 47	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))
49		flle 13795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
50	10, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
51	20, 10	lenegd 11752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ↔ -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
52	50, 51	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
53	31, 52	eqbrtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
54	20	renegcld 11600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
55	36, 54, 37	ledivmuld 13076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
56	53, 55	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
57	40, 15	zmulcld 12669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ)
58		zlem1lt 12609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
59	42, 57, 58	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
60	56, 59	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
61	46, 54, 37	ltdivmuld 13074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
62	60, 61	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
63	25	negcld 11515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
64	63, 26	npcand 11532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1) = -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
65	62, 64	breqtrrd 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))
66	46, 9	nndivred 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
67		flbi 13812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
68	66, 34, 67	syl2anc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
69	48, 65, 68	mpbir2and 721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
70	69	breq2d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
71	17, 70	bitr4d 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
72	1, 14, 71	3bitrd 307	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
73	72	notbid 320	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
74	73	pm5.32da 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
75		znegcl 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
76		1zzd 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
77	75, 76	zsubcld 12668	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
78	77	biantrurd 539	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
79	74, 78	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
80		eldif 3905	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)))
81		bitsval 16430	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
82		3anass 1103	. . . 4 ⊢ (((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
83	81, 82	bitri 277	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
84	79, 80, 83	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ 𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1))))
85	84	eqrdv 2750	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ∖ cdif 3892   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℝcr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064   < clt 11202   ≤ cle 11203   − cmin 11400  -cneg 11401   / cdiv 11830  ℕcn 12196  2c2 12258  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ⌊cfl 13786  ↑cexp 14060   ∥ cdvds 16258  bitscbits 16425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fl 13788  df-seq 14001  df-exp 14061  df-dvds 16259  df-bits 16428

This theorem is referenced by:  m1bits  16446  bitsf1  16452