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Theorem bitscmp 16323
Description: The bit complement of 𝑁 is -𝑁 βˆ’ 1. (Thus, by bitsfi 16322, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitscmp (𝑁 ∈ β„€ β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) = (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)))

Proof of Theorem bitscmp
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval2 16310 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
2 2z 12540 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
32a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
4 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54zred 12612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
6 2nn 12231 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
8 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„•0)
97, 8nnexpcld 14154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
105, 9nndivred 12212 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
1110flcld 13709 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€)
12 dvdsnegb 16161 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
133, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
1413notbid 318 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
1511znegcld 12614 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€)
16 oddm1even 16230 . . . . . . . . 9 (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1)))
18 flltp1 13711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1))
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1))
2011zred 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
21 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
2220, 21readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) ∈ ℝ)
2310, 22ltnegd 11738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) < ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) ↔ -((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) < -(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
2419, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) < -(𝑁 / (2β†‘π‘š)))
2520recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„‚)
2621recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
2725, 26negdi2d 11531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1))
285recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
299nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„‚)
309nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) β‰  0)
3128, 29, 30divnegd 11949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 / (2β†‘π‘š)) = (-𝑁 / (2β†‘π‘š)))
3224, 27, 313brtr3d 5137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) < (-𝑁 / (2β†‘π‘š)))
33 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„€)
3415, 33zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ∈ β„€)
3534zred 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
365renegcld 11587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
379nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37ltmuldivd 13009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁 ↔ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) < (-𝑁 / (2β†‘π‘š))))
3932, 38mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁)
409nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„€)
4134, 40zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ β„€)
424znegcld 12614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ β„€)
43 zltlem1 12561 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ β„€ ∧ -𝑁 ∈ β„€) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁 ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1)))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁 ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1)))
4539, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1))
4636, 21resubcld 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4735, 46, 37lemuldivd 13011 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1) ↔ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))
4845, 47mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))
49 flle 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)))
5010, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)))
5120, 10lenegd 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ↔ -(𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
5250, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
5331, 52eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
5420renegcld 11587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
5536, 54, 37ledivmuld 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ -𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
5653, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
5740, 15zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ∈ β„€)
58 zlem1lt 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑁 ∈ β„€ ∧ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ∈ β„€) β†’ (-𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ↔ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
5942, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ↔ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
6146, 54, 37ltdivmuld 13013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
6260, 61mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
6325negcld 11504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„‚)
6463, 26npcand 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1) = -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
6562, 64breqtrrd 5134 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1))
6646, 9nndivred 12212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
67 flbi 13727 . . . . . . . . . . 11 ((((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ∧ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∧ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1))))
6866, 34, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∧ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1))))
6948, 65, 68mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1))
7069breq2d 5118 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1)))
7117, 70bitr4d 282 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
721, 14, 713bitrd 305 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
7372notbid 318 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
7473pm5.32da 580 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘)) ↔ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))))
75 znegcl 12543 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ -𝑁 ∈ β„€)
76 1zzd 12539 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„€)
7775, 76zsubcld 12617 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
7877biantrurd 534 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))))
7974, 78bitrd 279 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘)) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))))
80 eldif 3921 . . 3 (π‘š ∈ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) ↔ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘)))
81 bitsval 16309 . . . 4 (π‘š ∈ (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
82 3anass 1096 . . . 4 (((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))))
8381, 82bitri 275 . . 3 (π‘š ∈ (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))))
8479, 80, 833bitr4g 314 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (π‘š ∈ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) ↔ π‘š ∈ (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1))))
8584eqrdv 2731 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) = (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  βŒŠcfl 13701  β†‘cexp 13973   βˆ₯ cdvds 16141  bitscbits 16304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-dvds 16142  df-bits 16307
This theorem is referenced by:  m1bits  16325  bitsf1  16331
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