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Theorem bitscmp 16383
Description: The bit complement of 𝑁 is -𝑁 βˆ’ 1. (Thus, by bitsfi 16382, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitscmp (𝑁 ∈ β„€ β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) = (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)))
Proof of Theorem bitscmp
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval2 16370 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
2 2z 12598 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
32a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
4 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54zred 12670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
6 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
8 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„•0)
97, 8nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
105, 9nndivred 12270 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
1110flcld 13767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€)
12 dvdsnegb 16221 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
133, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
1413notbid 317 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
1511znegcld 12672 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€)
16 oddm1even 16290 . . . . . . . . 9 (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1)))
18 flltp1 13769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1))
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1))
2011zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
21 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
2220, 21readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) ∈ ℝ)
2310, 22ltnegd 11796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) < ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) ↔ -((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) < -(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
2419, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) < -(𝑁 / (2β†‘π‘š)))
2520recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„‚)
2621recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
2725, 26negdi2d 11589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) + 1) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1))
285recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
299nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„‚)
309nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) β‰  0)
3128, 29, 30divnegd 12007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 / (2β†‘π‘š)) = (-𝑁 / (2β†‘π‘š)))
3224, 27, 313brtr3d 5179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) < (-𝑁 / (2β†‘π‘š)))
33 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„€)
3415, 33zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ∈ β„€)
3534zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
365renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
379nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ+)
3835, 36, 37ltmuldivd 13067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁 ↔ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) < (-𝑁 / (2β†‘π‘š))))
3932, 38mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁)
409nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„€)
4134, 40zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ β„€)
424znegcld 12672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ∈ β„€)
43 zltlem1 12619 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ∈ β„€ ∧ -𝑁 ∈ β„€) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁 ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1)))
4441, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) < -𝑁 ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1)))
4539, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1))
4636, 21resubcld 11646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4735, 46, 37lemuldivd 13069 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) Β· (2β†‘π‘š)) ≀ (-𝑁 βˆ’ 1) ↔ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))
4845, 47mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))
49 flle 13768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)))
5010, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)))
5120, 10lenegd 11797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ↔ -(𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
5250, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
5331, 52eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
5420renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ ℝ)
5536, 54, 37ledivmuld 13073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 / (2β†‘π‘š)) ≀ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ -𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
5653, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
5740, 15zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ∈ β„€)
58 zlem1lt 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑁 ∈ β„€ ∧ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ∈ β„€) β†’ (-𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ↔ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
5942, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 ≀ ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) ↔ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
6146, 54, 37ltdivmuld 13071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ (-𝑁 βˆ’ 1) < ((2β†‘π‘š) Β· -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))))
6260, 61mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
6325negcld 11562 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ∈ β„‚)
6463, 26npcand 11579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1) = -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
6562, 64breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1))
6646, 9nndivred 12270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
67 flbi 13785 . . . . . . . . . . 11 ((((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ∧ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∧ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1))))
6866, 34, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ↔ ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) ≀ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) ∧ ((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)) < ((-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1) + 1))))
6948, 65, 68mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) = (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1))
7069breq2d 5160 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (-(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) βˆ’ 1)))
7117, 70bitr4d 281 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ -(βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
721, 14, 713bitrd 304 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
7372notbid 317 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
7473pm5.32da 579 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘)) ↔ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))))
75 znegcl 12601 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ -𝑁 ∈ β„€)
76 1zzd 12597 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„€)
7775, 76zsubcld 12675 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
7877biantrurd 533 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))))
7974, 78bitrd 278 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘)) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))))
80 eldif 3958 . . 3 (π‘š ∈ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) ↔ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘)))
81 bitsval 16369 . . . 4 (π‘š ∈ (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))))
82 3anass 1095 . . . 4 (((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š)))) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))))
8381, 82bitri 274 . . 3 (π‘š ∈ (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((-𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((-𝑁 βˆ’ 1) / (2β†‘π‘š))))))
8479, 80, 833bitr4g 313 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (π‘š ∈ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) ↔ π‘š ∈ (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1))))
8584eqrdv 2730 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (β„•0 βˆ– (bitsβ€˜π‘)) = (bitsβ€˜(-𝑁 βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  βŒŠcfl 13759  β†‘cexp 14031   βˆ₯ cdvds 16201  bitscbits 16364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-dvds 16202  df-bits 16367
This theorem is referenced by:  m1bits  16385  bitsf1  16391
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