MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfzo 16315
Description: The bits of a number are all less than 𝑀 iff the number is nonnegative and less than 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Proof shortened by AV, 1-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bitsfzo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsfzo
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 16304 . . . 4 (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2 simp32 1210 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3 nn0uz 12805 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
5 simp1r 1198 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 12525 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 2re 12227 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ)
98, 2reexpcld 14068 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
10 simp1l 1197 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 12607 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℝ)
128, 5reexpcld 14068 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
139recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
1413mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) = (2↑𝑚))
15 simp33 1211 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
16 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ+)
182nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1917, 18rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
2011, 19rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
21 1red 11156 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ∈ ℝ)
2220, 21ltnled 11302 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
23 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
2423breq2i 5113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) ↔ (𝑁 / (2↑𝑚)) < 1)
25 elfzole1 13580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 0 ≤ 𝑁)
26253ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ 𝑁)
2711, 19, 26divge0d 12997 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
28 0z 12510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
29 flbi 13721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
3020, 28, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
31 z0even 16249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∥ 0
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0)
3331, 32breqtrrid 5143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
3430, 33syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3527, 34mpand 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3624, 35biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3722, 36sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3815, 37mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
3921, 11, 19lemuldivd 13006 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
4038, 39mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁)
4114, 40eqbrtrrd 5129 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ≤ 𝑁)
42 elfzolt2 13581 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 𝑁 < (2↑𝑀))
43423ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 < (2↑𝑀))
449, 11, 12, 41, 43lelttrd 11313 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) < (2↑𝑀))
45 1lt2 12324 . . . . . . . . 9 1 < 2
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 < 2)
478, 18, 6, 46ltexp2d 14154 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑚 < 𝑀 ↔ (2↑𝑚) < (2↑𝑀)))
4844, 47mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 < 𝑀)
49 elfzo2 13575 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑀))
504, 6, 48, 49syl3anbrc 1343 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀))
51503expia 1121 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
521, 51biimtrid 241 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
5352ssrdv 3950 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
54 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
5554nnred 12168 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℝ)
56 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5756nn0red 12474 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
58 max2 13106 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
60 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
61 n2dvdsm1 16251 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ -1
62 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6362zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
64 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
6654nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
6756, 66ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0)
6865, 67nnexpcld 14148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℕ)
6963, 68nndivred 12207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ)
70 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
7162zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7268nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℂ)
73 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
74 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
7667nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℤ)
7773, 75, 76expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ≠ 0)
7871, 72, 77divnegd 11944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) = (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
7967nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℝ)
8068nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ)
81 max1 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
8255, 57, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
83 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
84 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ (ℤ‘2)
86 bernneq3 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8785, 67, 86sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8879, 80, 87ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ≤ (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8955, 79, 80, 82, 88letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9072mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1) = (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9189, 90breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1))
9268nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ+)
9355, 70, 92ledivmuld 13010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1 ↔ -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1)))
9491, 93mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
9578, 94eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
9669, 70, 95lenegcon1d 11737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
9754nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -𝑁)
9868nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9955, 80, 97, 98divgt0d 12090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10099, 78breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10169lt0neg1d 11724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0 ↔ 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
102100, 101mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0)
103 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
104 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
105 1pneg1e0 12272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + -1) = 0
106103, 104, 105addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 + 1) = 0
107102, 106breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))
108 neg1z 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℤ
109 flbi 13721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
11069, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
11196, 107, 110mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1)
112111breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) ↔ 2 ∥ -1))
11361, 112mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
114 bitsval2 16305 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
11562, 67, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
116113, 115mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁))
11760, 116sseldd 3945 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀))
118 elfzolt2 13581 . . . . . . . 8 (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
119117, 118syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
12079, 57ltnled 11302 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
121119, 120mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
12259, 121pm2.65da 815 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
123122intnand 489 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))
124 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
125 elznn0nn 12513 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
126124, 125sylib 217 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
127126ord 862 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
128123, 127mt3d 148 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
129 simplr 767 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
130 simpr 485 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
131 eqid 2736 . . 3 inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
132128, 129, 130, 131bitsfzolem 16314 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
13353, 132impbida 799 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ..^cfzo 13567  cfl 13695  cexp 13967  cdvds 16136  bitscbits 16299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-dvds 16137  df-bits 16302
This theorem is referenced by:  bitsfi  16317  0bits  16319  bitsinv1  16322  sadcaddlem  16337  sadaddlem  16346  sadasslem  16350  sadeq  16352
  Copyright terms: Public domain W3C validator