Theorem bitsfzo 16412

Description: The bits of a number are all at positions less than 𝑀 iff the number is nonnegative and less than 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Proof shortened by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfzo	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsfzo

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 16401	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2		simp32 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3		nn0uz 12842	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
5		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12562	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		2re 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ)
9	8, 2	reexpcld 14135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
10		simp1l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zred 12645	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	8, 5	reexpcld 14135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
13	9	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
14	13	mullidd 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) = (2↑𝑚))
15		simp33 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
16		2rp 12963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ+
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ+)
18	2	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
19	17, 18	rpexpcld 14219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
20	11, 19	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
21		1red 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	ltnled 11328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
23		0p1e1 12310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
24	23	breq2i 5118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) ↔ (𝑁 / (2↑𝑚)) < 1)
25		elfzole1 13635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 0 ≤ 𝑁)
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ 𝑁)
27	11, 19, 26	divge0d 13042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
28		0z 12547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℤ
29		flbi 13785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
30	20, 28, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
31		z0even 16344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∥ 0
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0)
33	31, 32	breqtrrid 5148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
34	30, 33	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
35	27, 34	mpand 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
36	24, 35	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
37	22, 36	sylbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
38	15, 37	mt3d 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
39	21, 11, 19	lemuldivd 13051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
40	38, 39	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁)
41	14, 40	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ≤ 𝑁)
42		elfzolt2 13636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 𝑁 < (2↑𝑀))
43	42	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 < (2↑𝑀))
44	9, 11, 12, 41, 43	lelttrd 11339	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) < (2↑𝑀))
45		1lt2 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 < 2)
47	8, 18, 6, 46	ltexp2d 14223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑚 < 𝑀 ↔ (2↑𝑚) < (2↑𝑀)))
48	44, 47	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 < 𝑀)
49		elfzo2 13630	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑀))
50	4, 6, 48, 49	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀))
51	50	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
52	1, 51	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
53	52	ssrdv 3955	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
54		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
55	54	nnred 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℝ)
56		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
57	56	nn0red 12511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
58		max2 13154	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
60		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
61		n2dvdsm1 16346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ -1
62		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
63	62	zred 12645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
64		2nn 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℕ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
66	54	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
67	56, 66	ifcld 4538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0)
68	65, 67	nnexpcld 14217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℕ)
69	63, 68	nndivred 12247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ)
70		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
71	62	zcnd 12646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
72	68	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℂ)
73		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
74		2ne0 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
76	67	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℤ)
77	73, 75, 76	expne0d 14124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ≠ 0)
78	71, 72, 77	divnegd 11978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) = (-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
79	67	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℝ)
80	68	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ)
81		max1 13152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
82	55, 57, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
83		2z 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
84		uzid 12815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
86		bernneq3 14203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
87	85, 67, 86	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
88	79, 80, 87	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ≤ (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
89	55, 79, 80, 82, 88	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
90	72	mulridd 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1) = (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
91	89, 90	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1))
92	68	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ+)
93	55, 70, 92	ledivmuld 13055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1 ↔ -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1)))
94	91, 93	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
95	78, 94	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
96	69, 70, 95	lenegcon1d 11767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
97	54	nngt0d 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -𝑁)
98	68	nngt0d 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
99	55, 80, 97, 98	divgt0d 12125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
100	99, 78	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
101	69	lt0neg1d 11754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0 ↔ 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
102	100, 101	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0)
103		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
104		neg1cn 12178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
105		1pneg1e0 12307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + -1) = 0
106	103, 104, 105	addcomli 11373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 + 1) = 0
107	102, 106	breqtrrdi 5152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))
108		neg1z 12576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℤ
109		flbi 13785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
110	69, 108, 109	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
111	96, 107, 110	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1)
112	111	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) ↔ 2 ∥ -1))
113	61, 112	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
114		bitsval2 16402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → (if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
115	62, 67, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
116	113, 115	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁))
117	60, 116	sseldd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀))
118		elfzolt2 13636	. . . . . . . 8 ⊢ (if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
119	117, 118	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
120	79, 57	ltnled 11328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
121	119, 120	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁 ≤ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
122	59, 121	pm2.65da 816	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
123	122	intnand 488	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))
124		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
125		elznn0nn 12550	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
126	124, 125	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
127	126	ord 864	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
128	123, 127	mt3d 148	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
129		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
130		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
131		eqid 2730	. . 3 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
132	128, 129, 130, 131	bitsfzolem 16411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
133	53, 132	impbida 800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  infcinf 9399  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ..^cfzo 13622  ⌊cfl 13759  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229  bitscbits 16396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-dvds 16230  df-bits 16399

This theorem is referenced by:  bitsfi  16414  0bits  16416  bitsinv1  16419  sadcaddlem  16434  sadaddlem  16443  sadasslem  16447  sadeq  16449