MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfzo 16242
Description: The bits of a number are all less than 𝑀 iff the number is nonnegative and less than 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Proof shortened by AV, 1-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bitsfzo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsfzo
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 16231 . . . 4 (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2 simp32 1209 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3 nn0uz 12722 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleqtrdi 2847 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
5 simp1r 1197 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
65nn0zd 12526 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 2re 12149 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ)
98, 2reexpcld 13983 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
10 simp1l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 12528 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 ∈ ℝ)
128, 5reexpcld 13983 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
139recnd 11105 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
1413mulid2d 11095 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) = (2↑𝑚))
15 simp33 1210 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
16 2rp 12837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 2 ∈ ℝ+)
182nn0zd 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1917, 18rpexpcld 14064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
2011, 19rerpdivcld 12905 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
21 1red 11078 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ∈ ℝ)
2220, 21ltnled 11224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
23 0p1e1 12197 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
2423breq2i 5101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) ↔ (𝑁 / (2↑𝑚)) < 1)
25 elfzole1 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 0 ≤ 𝑁)
26253ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ 𝑁)
2711, 19, 26divge0d 12914 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
28 0z 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
29 flbi 13638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
3020, 28, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1))))
31 z0even 16176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∥ 0
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0)
3331, 32breqtrrid 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) = 0 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
3430, 33syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((0 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ∧ (𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3527, 34mpand 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < (0 + 1) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3624, 35syl5bir 242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < 1 → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3722, 36sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (¬ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) → 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3815, 37mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
3921, 11, 19lemuldivd 12923 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → ((1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑𝑚))))
4038, 39mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (1 · (2↑𝑚)) ≤ 𝑁)
4114, 40eqbrtrrd 5117 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) ≤ 𝑁)
42 elfzolt2 13498 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) → 𝑁 < (2↑𝑀))
43423ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑁 < (2↑𝑀))
449, 11, 12, 41, 43lelttrd 11235 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (2↑𝑚) < (2↑𝑀))
45 1lt2 12246 . . . . . . . . 9 1 < 2
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 1 < 2)
478, 18, 6, 46ltexp2d 14070 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → (𝑚 < 𝑀 ↔ (2↑𝑚) < (2↑𝑀)))
4844, 47mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 < 𝑀)
49 elfzo2 13492 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑀))
504, 6, 48, 49syl3anbrc 1342 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀))
51503expia 1120 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
521, 51biimtrid 241 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) → 𝑚 ∈ (0..^𝑀)))
5352ssrdv 3938 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
54 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
5554nnred 12090 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℝ)
56 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5756nn0red 12396 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
58 max2 13023 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
60 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
61 n2dvdsm1 16178 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ -1
62 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6362zred 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
64 2nn 12148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
6654nnnn0d 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
6756, 66ifcld 4520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0)
6865, 67nnexpcld 14062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℕ)
6963, 68nndivred 12129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ)
70 1red 11078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
7162zcnd 12529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7268nncnd 12091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℂ)
73 2cnd 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
74 2ne0 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
7667nn0zd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℤ)
7773, 75, 76expne0d 13972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ≠ 0)
7871, 72, 77divnegd 11866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) = (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
7967nn0red 12396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℝ)
8068nnred 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ)
81 max1 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
8255, 57, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
83 2z 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
84 uzid 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ (ℤ‘2)
86 bernneq3 14048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8785, 67, 86sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8879, 80, 87ltled 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ≤ (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8955, 79, 80, 82, 88letrd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9072mulid1d 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1) = (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9189, 90breqtrrd 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1))
9268nnrpd 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ+)
9355, 70, 92ledivmuld 12927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1 ↔ -𝑁 ≤ ((2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)) · 1)))
9491, 93mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
9578, 94eqbrtrd 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≤ 1)
9669, 70, 95lenegcon1d 11659 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
9754nngt0d 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -𝑁)
9868nngt0d 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9955, 80, 97, 98divgt0d 12012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (-𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10099, 78breqtrrd 5121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10169lt0neg1d 11646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0 ↔ 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
102100, 101mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0)
103 ax-1cn 11031 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
104 neg1cn 12189 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
105 1pneg1e0 12194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + -1) = 0
106103, 104, 105addcomli 11269 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 + 1) = 0
107102, 106breqtrrdi 5135 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))
108 neg1z 12458 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℤ
109 flbi 13638 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
11069, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≤ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
11196, 107, 110mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1)
112111breq2d 5105 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))) ↔ 2 ∥ -1))
11361, 112mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
114 bitsval2 16232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℕ0) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
11562, 67, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
116113, 115mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bits‘𝑁))
11760, 116sseldd 3933 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀))
118 elfzolt2 13498 . . . . . . . 8 (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
119117, 118syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
12079, 57ltnled 11224 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁)))
121119, 120mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑀 ≤ if(-𝑁𝑀, 𝑀, -𝑁))
12259, 121pm2.65da 814 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
123122intnand 489 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ))
124 simpll 764 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
125 elznn0nn 12435 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
126124, 125sylib 217 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
127126ord 861 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
128123, 127mt3d 148 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
129 simplr 766 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
130 simpr 485 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
131 eqid 2736 . . 3 inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
132128, 129, 130, 131bitsfzolem 16241 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
13353, 132impbida 798 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  {crab 3403  wss 3898  ifcif 4474   class class class wbr 5093  cfv 6480  (class class class)co 7338  infcinf 9299  cr 10972  0cc0 10973  1c1 10974   + caddc 10976   · cmul 10978   < clt 11111  cle 11112  -cneg 11308   / cdiv 11734  cn 12075  2c2 12130  0cn0 12335  cz 12421  cuz 12684  +crp 12832  ..^cfzo 13484  cfl 13612  cexp 13884  cdvds 16063  bitscbits 16226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-sup 9300  df-inf 9301  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-seq 13824  df-exp 13885  df-dvds 16064  df-bits 16229
This theorem is referenced by:  bitsfi  16244  0bits  16246  bitsinv1  16249  sadcaddlem  16264  sadaddlem  16273  sadasslem  16277  sadeq  16279
  Copyright terms: Public domain W3C validator