MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfzo 16322
Description: The bits of a number are all less than 𝑀 iff the number is nonnegative and less than 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Proof shortened by AV, 1-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
bitsfzo ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsfzo
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 16311 . . . 4 (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
2 simp32 1211 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
3 nn0uz 12812 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
42, 3eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5 simp1r 1199 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
65nn0zd 12532 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 2 ∈ ℝ)
98, 2reexpcld 14075 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ)
10 simp1l 1198 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1110zred 12614 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
128, 5reexpcld 14075 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (2↑𝑀) ∈ ℝ)
139recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„‚)
1413mulid2d 11180 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (1 Β· (2β†‘π‘š)) = (2β†‘π‘š))
15 simp33 1212 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
16 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 2 ∈ ℝ+)
182nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ π‘š ∈ β„€)
1917, 18rpexpcld 14157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ ℝ+)
2011, 19rerpdivcld 12995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ)
21 1red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 1 ∈ ℝ)
2220, 21ltnled 11309 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) < 1 ↔ Β¬ 1 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š))))
23 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
2423breq2i 5118 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) < (0 + 1) ↔ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < 1)
25 elfzole1 13587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) β†’ 0 ≀ 𝑁)
26253ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 0 ≀ 𝑁)
2711, 19, 26divge0d 13004 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 0 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)))
28 0z 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„€
29 flbi 13728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) = 0 ↔ (0 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∧ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < (0 + 1))))
3020, 28, 29sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) = 0 ↔ (0 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∧ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < (0 + 1))))
31 z0even 16256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 βˆ₯ 0
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) = 0 β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) = 0)
3331, 32breqtrrid 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))) = 0 β†’ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
3430, 33syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ ((0 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) ∧ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) < (0 + 1)) β†’ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
3527, 34mpand 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) < (0 + 1) β†’ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
3624, 35biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ ((𝑁 / (2β†‘π‘š)) < 1 β†’ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
3722, 36sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (Β¬ 1 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)) β†’ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
3815, 37mt3d 148 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 1 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š)))
3921, 11, 19lemuldivd 13013 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ ((1 Β· (2β†‘π‘š)) ≀ 𝑁 ↔ 1 ≀ (𝑁 / (2β†‘π‘š))))
4038, 39mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (1 Β· (2β†‘π‘š)) ≀ 𝑁)
4114, 40eqbrtrrd 5134 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (2β†‘π‘š) ≀ 𝑁)
42 elfzolt2 13588 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) β†’ 𝑁 < (2↑𝑀))
43423ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 𝑁 < (2↑𝑀))
449, 11, 12, 41, 43lelttrd 11320 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (2β†‘π‘š) < (2↑𝑀))
45 1lt2 12331 . . . . . . . . 9 1 < 2
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ 1 < 2)
478, 18, 6, 46ltexp2d 14161 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ (π‘š < 𝑀 ↔ (2β†‘π‘š) < (2↑𝑀)))
4844, 47mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ π‘š < 𝑀)
49 elfzo2 13582 . . . . . 6 (π‘š ∈ (0..^𝑀) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘š < 𝑀))
504, 6, 48, 49syl3anbrc 1344 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))) β†’ π‘š ∈ (0..^𝑀))
51503expia 1122 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) β†’ ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))) β†’ π‘š ∈ (0..^𝑀)))
521, 51biimtrid 241 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) β†’ (π‘š ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ π‘š ∈ (0..^𝑀)))
5352ssrdv 3955 . 2 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀))
54 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -𝑁 ∈ β„•)
5554nnred 12175 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
56 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5756nn0red 12481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
58 max2 13113 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ≀ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
60 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀))
61 n2dvdsm1 16258 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 2 βˆ₯ -1
62 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6362zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
64 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•)
6654nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -𝑁 ∈ β„•0)
6756, 66ifcld 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ β„•0)
6865, 67nnexpcld 14155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ β„•)
6963, 68nndivred 12214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ)
70 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
7162zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
7268nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ β„‚)
73 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
74 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 β‰  0
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 2 β‰  0)
7667nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ β„€)
7773, 75, 76expne0d 14064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) β‰  0)
7871, 72, 77divnegd 11951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) = (-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
7967nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ ℝ)
8068nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ)
81 max1 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ -𝑁 ≀ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
8255, 57, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -𝑁 ≀ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
83 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ β„€
84 uzid 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
86 bernneq3 14141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ β„•0) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8785, 67, 86sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8879, 80, 87ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ≀ (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
8955, 79, 80, 82, 88letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -𝑁 ≀ (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9072mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) Β· 1) = (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9189, 90breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -𝑁 ≀ ((2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) Β· 1))
9268nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) ∈ ℝ+)
9355, 70, 92ledivmuld 13017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ ((-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≀ 1 ↔ -𝑁 ≀ ((2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)) Β· 1)))
9491, 93mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≀ 1)
9578, 94eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ≀ 1)
9669, 70, 95lenegcon1d 11744 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ -1 ≀ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
9754nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < -𝑁)
9868nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
9955, 80, 97, 98divgt0d 12097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (-𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10099, 78breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))
10169lt0neg1d 11731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0 ↔ 0 < -(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
102100, 101mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < 0)
103 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„‚
104 neg1cn 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ β„‚
105 1pneg1e0 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + -1) = 0
106103, 104, 105addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 + 1) = 0
107102, 106breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))
108 neg1z 12546 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ β„€
109 flbi 13728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≀ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
11069, 108, 109sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1 ↔ (-1 ≀ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) ∧ (𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))) < (-1 + 1))))
11196, 107, 110mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) = -1)
112111breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))) ↔ 2 βˆ₯ -1))
11361, 112mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))))
114 bitsval2 16312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ β„•0) β†’ (if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
11562, 67, 114syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))))))
116113, 115mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (bitsβ€˜π‘))
11760, 116sseldd 3950 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀))
118 elfzolt2 13588 . . . . . . . 8 (if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) ∈ (0..^𝑀) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
119117, 118syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀)
12079, 57ltnled 11309 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁) < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁)))
121119, 120mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ if(-𝑁 ≀ 𝑀, 𝑀, -𝑁))
12259, 121pm2.65da 816 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ Β¬ -𝑁 ∈ β„•)
123122intnand 490 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•))
124 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
125 elznn0nn 12520 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
126124, 125sylib 217 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
127126ord 863 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
128123, 127mt3d 148 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
129 simplr 768 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
130 simpr 486 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀))
131 eqid 2737 . . 3 inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
132128, 129, 130, 131bitsfzolem 16321 . 2 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
13353, 132impbida 800 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702  β†‘cexp 13974   βˆ₯ cdvds 16143  bitscbits 16306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-dvds 16144  df-bits 16309
This theorem is referenced by:  bitsfi  16324  0bits  16326  bitsinv1  16329  sadcaddlem  16344  sadaddlem  16353  sadasslem  16357  sadeq  16359
  Copyright terms: Public domain W3C validator