Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemg31.n |
. 2
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37855 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β πΎ β Lat) |
4 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β π β π΄) |
5 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β π£ β π΄) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdlemg12.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdlemg12.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37858 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π£ β π΄) β (π β¨ π£) β (BaseβπΎ)) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β (π β¨ π£) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp2r 1201 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β π β π΄) |
12 | 6, 8 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
15 | | simp3r 1203 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β πΉ β π) |
16 | | cdlemg12.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | | cdlemg12.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
18 | | cdlemg12b.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
19 | 6, 16, 17, 18 | trlcl 38656 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
20 | 14, 15, 19 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
21 | 6, 7 | latjcl 18335 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
22 | 3, 13, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
23 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
24 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
25 | 6, 23, 24 | latmle2 18361 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π£) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
26 | 3, 10, 22, 25 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
27 | 1, 26 | eqbrtrid 5145 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |