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Theorem cdlemg31d 38961
Description: Eliminate (𝐹𝑃) ≠ 𝑃 from cdlemg31c 38960. TODO: Prove directly. TODO: do we need to eliminate (𝐹𝑃) ≠ 𝑃? It might be better to do this all at once at the end. See also cdlemg29 38966 versus cdlemg28 38965. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg31d (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)

Proof of Theorem cdlemg31d
StepHypRef Expression
1 simp22r 1292 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑄 𝑊)
21adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑄 𝑊)
3 simpl1 1190 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp21l 1289 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝑃𝐴)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑃𝐴)
6 simp22l 1291 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝑄𝐴)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑄𝐴)
8 simp23l 1293 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝑣𝐴)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑣𝐴)
10 simpl31 1253 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
11 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
12 cdlemg12.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
13 cdlemg12.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
14 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemg12b.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18 cdlemg31.n . . . . . . . 8 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemg31b 38959 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑣𝐴𝐹𝑇)) → 𝑁 (𝑄 (𝑅𝐹)))
203, 5, 7, 9, 10, 19syl122anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁 (𝑄 (𝑅𝐹)))
21 simpl21 1250 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
22 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
23 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2411, 23, 14, 15, 16, 17trl0 38431 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
253, 21, 10, 22, 24syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
2625oveq2d 7345 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑄 (𝑅𝐹)) = (𝑄 (0.‘𝐾)))
27 simp1l 1196 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
28 hlol 37621 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ OL)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3231, 14atbase 37549 . . . . . . . . 9 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
337, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3431, 12, 23olj01 37485 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (0.‘𝐾)) = 𝑄)
3530, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑄 (0.‘𝐾)) = 𝑄)
3626, 35eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑄 (𝑅𝐹)) = 𝑄)
3720, 36breqtrd 5115 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁 𝑄)
38 hlatl 37620 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3927, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
41 simpl33 1255 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁𝐴)
4211, 14atcmp 37571 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑁𝐴𝑄𝐴) → (𝑁 𝑄𝑁 = 𝑄))
4340, 41, 7, 42syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑁 𝑄𝑁 = 𝑄))
4437, 43mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁 = 𝑄)
4544breq1d 5099 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑁 𝑊𝑄 𝑊))
462, 45mtbird 324 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑁 𝑊)
47 simpl1 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
48 simpl21 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
49 simpl22 1251 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
50 simpl23 1252 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
51 simpl31 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐹𝑇)
52 simpl32 1254 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
53 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
54 simpl33 1255 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑁𝐴)
5511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemg31c 38960 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)
5647, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55syl323anc 1399 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → ¬ 𝑁 𝑊)
5746, 56pm2.61dane 3029 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  Basecbs 17001  lecple 17058  joincjn 18118  meetcmee 18119  0.cp0 18230  OLcol 37434  Atomscatm 37523  AtLatcal 37524  HLchlt 37610  LHypclh 38245  LTrncltrn 38362  trLctrl 38419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-map 8680  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-join 18155  df-meet 18156  df-p0 18232  df-p1 18233  df-lat 18239  df-clat 18306  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-atl 37558  df-cvlat 37582  df-hlat 37611  df-psubsp 37764  df-pmap 37765  df-padd 38057  df-lhyp 38249  df-laut 38250  df-ldil 38365  df-ltrn 38366  df-trl 38420
This theorem is referenced by:  cdlemg33b0  38962  cdlemg33a  38967
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