Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp22r 1294 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β Β¬ π β€ π) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β Β¬ π β€ π) |
3 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp21l 1291 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β π β π΄) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π β π΄) |
6 | | simp22l 1293 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β π β π΄) |
7 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π β π΄) |
8 | | simp23l 1295 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β π£ β π΄) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π£ β π΄) |
10 | | simpl31 1255 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β πΉ β π) |
11 | | cdlemg12.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
12 | | cdlemg12.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | | cdlemg12.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
14 | | cdlemg12.a |
. . . . . . . 8
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
15 | | cdlemg12.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdlemg12.t |
. . . . . . . 8
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
17 | | cdlemg12b.r |
. . . . . . . 8
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
18 | | cdlemg31.n |
. . . . . . . 8
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
19 | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdlemg31b 39190 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π£ β π΄ β§ πΉ β π)) β π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
20 | 3, 5, 7, 9, 10, 19 | syl122anc 1380 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
21 | | simpl21 1252 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
22 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ) = π) |
23 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
24 | 11, 23, 14, 15, 16, 17 | trl0 38662 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) |
25 | 3, 21, 10, 22, 24 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) |
26 | 25 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (0.βπΎ))) |
27 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
28 | | hlol 37852 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β πΎ β OL) |
30 | 29 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β πΎ β OL) |
31 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
32 | 31, 14 | atbase 37780 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
33 | 7, 32 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π β (BaseβπΎ)) |
34 | 31, 12, 23 | olj01 37716 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β OL β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
35 | 30, 33, 34 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
36 | 26, 35 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β¨ (π
βπΉ)) = π) |
37 | 20, 36 | breqtrd 5136 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π β€ π) |
38 | | hlatl 37851 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
39 | 27, 38 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β πΎ β AtLat) |
40 | 39 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β πΎ β AtLat) |
41 | | simpl33 1257 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π β π΄) |
42 | 11, 14 | atcmp 37802 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β€ π β π = π)) |
43 | 40, 41, 7, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β€ π β π = π)) |
44 | 37, 43 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β π = π) |
45 | 44 | breq1d 5120 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β€ π β π β€ π)) |
46 | 2, 45 | mtbird 325 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) = π) β Β¬ π β€ π) |
47 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
48 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
49 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
50 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
51 | | simpl31 1255 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β πΉ β π) |
52 | | simpl32 1256 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β π£ β (π
βπΉ)) |
53 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β (πΉβπ) β π) |
54 | | simpl33 1257 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β π β π΄) |
55 | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdlemg31c 39191 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ πΉ β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π β§ π β π΄)) β Β¬ π β€ π) |
56 | 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55 | syl323anc 1401 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β§ (πΉβπ) β π) β Β¬ π β€ π) |
57 | 46, 56 | pm2.61dane 3033 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ π β π΄)) β Β¬ π β€ π) |