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Theorem cdlemg31d 39163
Description: Eliminate (𝐹𝑃) ≠ 𝑃 from cdlemg31c 39162. TODO: Prove directly. TODO: do we need to eliminate (𝐹𝑃) ≠ 𝑃? It might be better to do this all at once at the end. See also cdlemg29 39168 versus cdlemg28 39167. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg31d (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)

Proof of Theorem cdlemg31d
StepHypRef Expression
1 simp22r 1293 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑄 𝑊)
21adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑄 𝑊)
3 simpl1 1191 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp21l 1290 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝑃𝐴)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑃𝐴)
6 simp22l 1292 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝑄𝐴)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑄𝐴)
8 simp23l 1294 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝑣𝐴)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑣𝐴)
10 simpl31 1254 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
11 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
12 cdlemg12.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
13 cdlemg12.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
14 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemg12b.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18 cdlemg31.n . . . . . . . 8 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemg31b 39161 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑣𝐴𝐹𝑇)) → 𝑁 (𝑄 (𝑅𝐹)))
203, 5, 7, 9, 10, 19syl122anc 1379 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁 (𝑄 (𝑅𝐹)))
21 simpl21 1251 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
22 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
23 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2411, 23, 14, 15, 16, 17trl0 38633 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
253, 21, 10, 22, 24syl112anc 1374 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
2625oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑄 (𝑅𝐹)) = (𝑄 (0.‘𝐾)))
27 simp1l 1197 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
28 hlol 37823 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ OL)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3231, 14atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
337, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3431, 12, 23olj01 37687 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (0.‘𝐾)) = 𝑄)
3530, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑄 (0.‘𝐾)) = 𝑄)
3626, 35eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑄 (𝑅𝐹)) = 𝑄)
3720, 36breqtrd 5131 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁 𝑄)
38 hlatl 37822 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3927, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
41 simpl33 1256 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁𝐴)
4211, 14atcmp 37773 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑁𝐴𝑄𝐴) → (𝑁 𝑄𝑁 = 𝑄))
4340, 41, 7, 42syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑁 𝑄𝑁 = 𝑄))
4437, 43mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑁 = 𝑄)
4544breq1d 5115 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑁 𝑊𝑄 𝑊))
462, 45mtbird 324 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑁 𝑊)
47 simpl1 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
48 simpl21 1251 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
49 simpl22 1252 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
50 simpl23 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
51 simpl31 1254 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐹𝑇)
52 simpl32 1255 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
53 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
54 simpl33 1256 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑁𝐴)
5511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemg31c 39162 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)
5647, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55syl323anc 1400 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → ¬ 𝑁 𝑊)
5746, 56pm2.61dane 3032 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑁𝐴)) → ¬ 𝑁 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  0.cp0 18312  OLcol 37636  Atomscatm 37725  AtLatcal 37726  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  trLctrl 38621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622
This theorem is referenced by:  cdlemg33b0  39164  cdlemg33a  39169
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