Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg31d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg31d 39192
Description: Eliminate (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 from cdlemg31c 39191. TODO: Prove directly. TODO: do we need to eliminate (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃? It might be better to do this all at once at the end. See also cdlemg29 39197 versus cdlemg28 39196. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg31d (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)

Proof of Theorem cdlemg31d
StepHypRef Expression
1 simp22r 1294 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
21adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
3 simpl1 1192 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp21l 1291 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
6 simp22l 1293 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
8 simp23l 1295 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
10 simpl31 1255 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
11 cdlemg12.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
13 cdlemg12.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
14 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
15 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
16 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 cdlemg12b.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 cdlemg31.n . . . . . . . 8 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemg31b 39190 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑁 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
203, 5, 7, 9, 10, 19syl122anc 1380 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑁 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
21 simpl21 1252 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
22 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
2411, 23, 14, 15, 16, 17trl0 38662 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
253, 21, 10, 22, 24syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
2625oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑄 ∨ (0.β€˜πΎ)))
27 simp1l 1198 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
28 hlol 37852 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ OL)
31 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3231, 14atbase 37780 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
337, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3431, 12, 23olj01 37716 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑄)
3530, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑄)
3626, 35eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = 𝑄)
3720, 36breqtrd 5136 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑁 ≀ 𝑄)
38 hlatl 37851 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3927, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4039adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
41 simpl33 1257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑁 ∈ 𝐴)
4211, 14atcmp 37802 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑁 ≀ 𝑄 ↔ 𝑁 = 𝑄))
4340, 41, 7, 42syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑁 ≀ 𝑄 ↔ 𝑁 = 𝑄))
4437, 43mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑁 = 𝑄)
4544breq1d 5120 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑁 ≀ π‘Š ↔ 𝑄 ≀ π‘Š))
462, 45mtbird 325 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)
47 simpl1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
48 simpl21 1252 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
49 simpl22 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
50 simpl23 1254 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š))
51 simpl31 1255 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
52 simpl32 1256 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
53 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
54 simpl33 1257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑁 ∈ 𝐴)
5511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemg31c 39191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)
5647, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55syl323anc 1401 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)
5746, 56pm2.61dane 3033 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  0.cp0 18319  OLcol 37665  Atomscatm 37754  AtLatcal 37755  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  trLctrl 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651
This theorem is referenced by:  cdlemg33b0  39193  cdlemg33a  39198
  Copyright terms: Public domain W3C validator