Theorem trlcl 36856

Description: Closure of the trace of a lattice translation. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcl.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem trlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		trlcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 36710	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
7		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9		trlcl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trlcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	1, 7, 8, 3, 4, 9, 10	trlval2 36855	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
12	6, 11	mpd3an3 1454	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13		hllat 36055	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15		hlop 36054	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17		trlcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
18	17, 4	lhpbase 36690	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐵)
20	17, 2	opoccl 35886	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
22	17, 4, 9	ltrncl 36817	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
23	21, 22	mpd3an3 1454	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
24	17, 7	latjcl 17495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
25	14, 21, 23, 24	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
26	17, 8	latmcl 17496	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
27	14, 25, 19, 26	syl3anc 1364	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
28	12, 27	eqeltrd 2883	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4966  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  lecple 16406  occoc 16407  joincjn 17388  meetcmee 17389  Latclat 17489  OPcops 35864  Atomscatm 35955  HLchlt 36042  LHypclh 36676  LTrncltrn 36793  trLctrl 36850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-map 8263  df-proset 17372  df-poset 17390  df-plt 17402  df-lub 17418  df-glb 17419  df-join 17420  df-meet 17421  df-p0 17483  df-p1 17484  df-lat 17490  df-oposet 35868  df-ol 35870  df-oml 35871  df-covers 35958  df-ats 35959  df-atl 35990  df-cvlat 36014  df-hlat 36043  df-lhyp 36680  df-laut 36681  df-ldil 36796  df-ltrn 36797  df-trl 36851

This theorem is referenced by:  trljat1  36858  trljat2  36859  trlval3  36879  cdlemc3  36885  cdlemc5  36887  trlord  37261  cdlemg4c  37304  cdlemg4  37309  cdlemg6c  37312  cdlemg10c  37331  cdlemg10  37333  cdlemg12e  37339  cdlemg17dALTN  37356  cdlemg31a  37389  cdlemg31b  37390  cdlemg35  37405  cdlemg44a  37423  trljco  37432  trljco2  37433  tendoidcl  37461  tendococl  37464  tendoid  37465  tendopltp  37472  tendo0tp  37481  cdlemh1  37507  cdlemh2  37508  cdlemi1  37510  cdlemi  37512  cdlemk9  37531  cdlemk9bN  37532  cdlemkvcl  37534  cdlemk10  37535  cdlemk11  37541  cdlemk11u  37563  cdlemk37  37606  cdlemkfid1N  37613  cdlemkid1  37614  cdlemkid2  37616  cdlemk39s-id  37632  cdlemk48  37642  cdlemk50  37644  cdlemk51  37645  cdlemk52  37646  cdlemk39u  37660  tendoex  37667  dialss  37738  dia0  37744  diaglbN  37747  dia1dim  37753  dia2dimlem2  37757  dia2dimlem3  37758  dia2dimlem10  37765  cdlemm10N  37810  dib1dim  37857  diblss  37862  cdlemn2a  37888  dih1dimb  37932  dihopelvalcpre  37940  dih1  37978  dihmeetlem1N  37982  dihglblem5apreN  37983  dihglbcpreN  37992  dih1dimatlem  38021