Theorem trlcl 40363

Description: Closure of the trace of a lattice translation. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcl.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem trlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		trlcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 40217	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9		trlcl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trlcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	1, 7, 8, 3, 4, 9, 10	trlval2 40362	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
12	6, 11	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13		hllat 39562	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15		hlop 39561	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17		trlcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
18	17, 4	lhpbase 40197	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐵)
20	17, 2	opoccl 39393	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
22	17, 4, 9	ltrncl 40324	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
23	21, 22	mpd3an3 1464	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
24	17, 7	latjcl 18360	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
25	14, 21, 23, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
26	17, 8	latmcl 18361	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
27	14, 25, 19, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
28	12, 27	eqeltrd 2834	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  lecple 17182  occoc 17183  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352  OPcops 39371  Atomscatm 39462  HLchlt 39549  LHypclh 40183  LTrncltrn 40300  trLctrl 40357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-lhyp 40187  df-laut 40188  df-ldil 40303  df-ltrn 40304  df-trl 40358

This theorem is referenced by:  trljat1  40365  trljat2  40366  trlval3  40386  cdlemc3  40392  cdlemc5  40394  trlord  40768  cdlemg4c  40811  cdlemg4  40816  cdlemg6c  40819  cdlemg10c  40838  cdlemg10  40840  cdlemg12e  40846  cdlemg17dALTN  40863  cdlemg31a  40896  cdlemg31b  40897  cdlemg35  40912  cdlemg44a  40930  trljco  40939  trljco2  40940  tendoidcl  40968  tendococl  40971  tendoid  40972  tendopltp  40979  tendo0tp  40988  cdlemh1  41014  cdlemh2  41015  cdlemi1  41017  cdlemi  41019  cdlemk9  41038  cdlemk9bN  41039  cdlemkvcl  41041  cdlemk10  41042  cdlemk11  41048  cdlemk11u  41070  cdlemk37  41113  cdlemkfid1N  41120  cdlemkid1  41121  cdlemkid2  41123  cdlemk39s-id  41139  cdlemk48  41149  cdlemk50  41151  cdlemk51  41152  cdlemk52  41153  cdlemk39u  41167  tendoex  41174  dialss  41245  dia0  41251  diaglbN  41254  dia1dim  41260  dia2dimlem2  41264  dia2dimlem3  41265  dia2dimlem10  41272  cdlemm10N  41317  dib1dim  41364  diblss  41369  cdlemn2a  41395  dih1dimb  41439  dihopelvalcpre  41447  dih1  41485  dihmeetlem1N  41489  dihglblem5apreN  41490  dihglbcpreN  41499  dih1dimatlem  41528