HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chsupval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chsupval 29693
Description: The value of the supremum of a set of closed subspaces of Hilbert space. For an alternate version of the value, see chsupval2 29768. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chsupval (𝐴C → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))

Proof of Theorem chsupval
StepHypRef Expression
1 chsspwh 29605 . . 3 C ⊆ 𝒫 ℋ
2 sstr2 3933 . . 3 (𝐴C → ( C ⊆ 𝒫 ℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ))
31, 2mpi 20 . 2 (𝐴C𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4 hsupval 29692 . 2 (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))
53, 4syl 17 1 (𝐴C → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wss 3892  𝒫 cpw 4539   cuni 4845  cfv 6432  chba 29277   C cch 29287  cort 29288   chsup 29292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-1cn 10930  ax-addcl 10932  ax-hilex 29357  ax-hfvadd 29358  ax-hv0cl 29361  ax-hfvmul 29363
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-map 8600  df-nn 11974  df-hlim 29330  df-sh 29565  df-ch 29579  df-chsup 29669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator