HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chsupval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chsupval 29127
Description: The value of the supremum of a set of closed subspaces of Hilbert space. For an alternate version of the value, see chsupval2 29202. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chsupval (𝐴C → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))

Proof of Theorem chsupval
StepHypRef Expression
1 chsspwh 29039 . . 3 C ⊆ 𝒫 ℋ
2 sstr2 3960 . . 3 (𝐴C → ( C ⊆ 𝒫 ℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ))
31, 2mpi 20 . 2 (𝐴C𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4 hsupval 29126 . 2 (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))
53, 4syl 17 1 (𝐴C → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wss 3919  𝒫 cpw 4522   cuni 4824  cfv 6345  chba 28711   C cch 28721  cort 28722   chsup 28726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597  ax-hilex 28791  ax-hfvadd 28792  ax-hv0cl 28795  ax-hfvmul 28797
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-map 8406  df-nn 11637  df-hlim 28764  df-sh 28999  df-ch 29013  df-chsup 29103
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator