Theorem chsupval 31217

Description: The value of the supremum of a set of closed subspaces of Hilbert space. For an alternate version of the value, see chsupval2 31292. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsupval	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))

Proof of Theorem chsupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsspwh 31129	. . 3 ⊢ Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ
2		sstr2 3983	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ))
3	1, 2	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4		hsupval 31216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6549   ℋchba 30801   C_ℋ cch 30811  ⊥cort 30812   ∨_ℋ chsup 30816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-1cn 11198  ax-addcl 11200  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hv0cl 30885  ax-hfvmul 30887

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-map 8847  df-nn 12246  df-hlim 30854  df-sh 31089  df-ch 31103  df-chsup 31193

This theorem is referenced by: (None)