Theorem chsupval 31970

Description: The value of the supremum of a set of closed subspaces of Hilbert space. For an alternate version of the value, see chsupval2 32045. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsupval	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))

Proof of Theorem chsupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsspwh 31882	. . 3 ⊢ Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ
2		sstr2 3920	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ))
3	1, 2	mpi 21	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4		hsupval 31969	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6561   ℋchba 31554   C_ℋ cch 31564  ⊥cort 31565   ∨_ℋ chsup 31569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-1cn 11288  ax-addcl 11290  ax-hilex 31634  ax-hfvadd 31635  ax-hv0cl 31638  ax-hfvmul 31640

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8880  df-nn 12366  df-hlim 31607  df-sh 31842  df-ch 31856  df-chsup 31946

This theorem is used by: (None)