Theorem chsupval 31919

Description: The value of the supremum of a set of closed subspaces of Hilbert space. For an alternate version of the value, see chsupval2 31994. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsupval	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))

Proof of Theorem chsupval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsspwh 31831	. . 3 ⊢ Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ
2		sstr2 3938	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ))
3	1, 2	mpi 21	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4		hsupval 31918	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘𝐴) = (⊥‘(⊥‘∪ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6531   ℋchba 31503   C_ℋ cch 31513  ⊥cort 31514   ∨_ℋ chsup 31518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hv0cl 31587  ax-hfvmul 31589

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-map 8833  df-nn 12317  df-hlim 31556  df-sh 31791  df-ch 31805  df-chsup 31895

This theorem is used by: (None)