Theorem spancl 31084

Description: The span of a subset of Hilbert space is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spancl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem spancl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanval 31081	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
2		ssrab2 4070	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ
3		helsh 30993	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
4		sseq2 4001	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℋ → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ℋ))
5	4	rspcev 3604	. . . . 5 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
6	3, 5	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7		rabn0 4378	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8	6, 7	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅)
9		shintcl 31078	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ ∧ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
10	2, 8, 9	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
11	1, 10	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062  {crab 3424   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  ∩ cint 4941  ‘cfv 6534   ℋchba 30667   S_ℋ csh 30676  spancspn 30680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30747  ax-hfvadd 30748  ax-hvcom 30749  ax-hvass 30750  ax-hv0cl 30751  ax-hvaddid 30752  ax-hfvmul 30753  ax-hvmulid 30754  ax-hvmulass 30755  ax-hvdistr1 30756  ax-hvdistr2 30757  ax-hvmul0 30758  ax-hfi 30827  ax-his1 30830  ax-his2 30831  ax-his3 30832  ax-his4 30833

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-icc 13332  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-lm 23077  df-haus 23163  df-grpo 30241  df-gid 30242  df-ginv 30243  df-gdiv 30244  df-ablo 30293  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-vs 30347  df-nmcv 30348  df-ims 30349  df-hnorm 30716  df-hvsub 30719  df-hlim 30720  df-sh 30955  df-ch 30969  df-ch0 31001  df-span 31057

This theorem is referenced by:  elspancl  31085  shsupcl  31086  span0  31290  spanuni  31292  spanunsni  31327  shatomistici  32109