Theorem spancl 31920

Description: The span of a subset of Hilbert space is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spancl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem spancl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanval 31917	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
2		ssrab2 4028	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ
3		helsh 31829	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
4		sseq2 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℋ → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ℋ))
5	4	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
6	3, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7		rabn0 4339	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8	6, 7	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅)
9		shintcl 31914	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ ∧ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
10	2, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
11	1, 10	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ cint 4907  ‘cfv 6531   ℋchba 31503   S_ℋ csh 31512  spancspn 31516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hvcom 31585  ax-hvass 31586  ax-hv0cl 31587  ax-hvaddid 31588  ax-hfvmul 31589  ax-hvmulid 31590  ax-hvmulass 31591  ax-hvdistr1 31592  ax-hvdistr2 31593  ax-hvmul0 31594  ax-hfi 31663  ax-his1 31666  ax-his2 31667  ax-his3 31668  ax-his4 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-icc 13464  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-lm 23527  df-haus 23613  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-gdiv 31080  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-vs 31183  df-nmcv 31184  df-ims 31185  df-hnorm 31552  df-hvsub 31555  df-hlim 31556  df-sh 31791  df-ch 31805  df-ch0 31837  df-span 31893

This theorem is used by:  elspancl  31921  shsupcl  31922  span0  32126  spanuni  32128  spanunsni  32163  shatomistici  32945