Theorem spancl 31411

Description: The span of a subset of Hilbert space is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spancl	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem spancl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanval 31408	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
2		ssrab2 4032	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ
3		helsh 31320	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
4		sseq2 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℋ → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ℋ))
5	4	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
6	3, 5	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7		rabn0 4341	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Sℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅)
9		shintcl 31405	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Sℋ ∧ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
10	2, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Sℋ )
11	1, 10	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ∩ cint 4902  ‘cfv 6492   ℋchba 30994   S_ℋ csh 31003  spancspn 31007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-lm 23173  df-haus 23259  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675  df-ims 30676  df-hnorm 31043  df-hvsub 31046  df-hlim 31047  df-sh 31282  df-ch 31296  df-ch0 31328  df-span 31384

This theorem is referenced by:  elspancl  31412  shsupcl  31413  span0  31617  spanuni  31619  spanunsni  31654  shatomistici  32436