Theorem chsspwh 31333

Description: Closed subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsspwh	⊢ Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem chsspwh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsssh 31311	. 2 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
2		shsspwh 31332	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
3	1, 2	sstri 3932	1 ⊢ Cℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Syntax hints:   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   ℋchba 31005   S_ℋ csh 31014   C_ℋ cch 31015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hv0cl 31089  ax-hfvmul 31091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-map 8768  df-nn 12166  df-hlim 31058  df-sh 31293  df-ch 31307

This theorem is referenced by:  chsupval  31421  chsupcl  31426  chsupss  31428  chsupunss  31430  chsupval2  31496