MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3lem3 23576
Description: Lemma for iscmet3 23579. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 485 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4 eluzelz 12103 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
54, 1eleq2s 2901 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 oveq2 7024 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8 eqid 2795 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9 ovex 7048 . . . . 5 ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6635 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
116, 10syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12 nn0uz 12129 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1312reseq2i 5731 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0))
14 nn0ssz 11852 . . . . . . 7 0 ⊆ ℤ
15 resmpt 5786 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
1713, 16eqtr3i 2821 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18 halfcn 11700 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20 halfre 11699 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
21 halfge0 11702 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
22 absid 14490 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2320, 21, 22mp2an 688 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
24 halflt1 11703 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2523, 24eqbrtri 4983 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
2719, 26expcnv 15052 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
2817, 27eqbrtrid 4997 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0)
29 0z 11840 . . . . 5 0 ∈ ℤ
30 zex 11838 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
3130mptex 6852 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
33 climres 14766 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3429, 32, 33sylancr 587 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3528, 34mpbid 233 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
361, 2, 3, 11, 35climi0 14703 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
371uztrn2 12111 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
38 1rp 12243 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
39 rphalfcl 12266 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ+
41 rpexpcl 13298 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4240, 6, 41sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
43 rpre 12247 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
44 rpge0 12252 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
4543, 44absidd 14616 . . . . . . . 8 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4746breq1d 4972 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
4837, 47sylan2 592 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
4948anassrs 468 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5049ralbidva 3163 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5150rexbidva 3259 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5236, 51mpbid 233 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  wss 3859   class class class wbr 4962  cmpt 5041  cres 5445  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   < clt 10521  cle 10522   / cdiv 11145  2c2 11540  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  +crp 12239  cexp 13279  abscabs 14427  cli 14675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  23577  iscmet3lem2  23578
  Copyright terms: Public domain W3C validator