MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3lem3 24677
Description: Lemma for iscmet3 24680. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpl 484 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 486 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4 eluzelz 12781 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
54, 1eleq2s 2852 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 483 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 oveq2 7369 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8 eqid 2733 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9 ovex 7394 . . . . 5 ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6952 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
116, 10syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12 nn0uz 12813 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1312reseq2i 5938 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0))
14 nn0ssz 12530 . . . . . . 7 0 ⊆ ℤ
15 resmpt 5995 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
1713, 16eqtr3i 2763 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18 halfcn 12376 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20 halfre 12375 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
21 halfge0 12378 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
22 absid 15190 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2320, 21, 22mp2an 691 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
24 halflt1 12379 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2523, 24eqbrtri 5130 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
2719, 26expcnv 15757 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
2817, 27eqbrtrid 5144 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0)
29 0z 12518 . . . . 5 0 ∈ ℤ
30 zex 12516 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
3130mptex 7177 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
33 climres 15466 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3429, 32, 33sylancr 588 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
3528, 34mpbid 231 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
361, 2, 3, 11, 35climi0 15403 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
371uztrn2 12790 . . . . . 6 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
38 1rp 12927 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
39 rphalfcl 12950 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ+
41 rpexpcl 13995 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
4240, 6, 41sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
43 rpre 12931 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
44 rpge0 12936 . . . . . . . . 9 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
4543, 44absidd 15316 . . . . . . . 8 (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
4746breq1d 5119 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
4837, 47sylan2 594 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
4948anassrs 469 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5049ralbidva 3169 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5150rexbidva 3170 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
5236, 51mpbid 231 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3447  wss 3914   class class class wbr 5109  cmpt 5192  cres 5639  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11197  cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  0cn0 12421  cz 12507  cuz 12771  +crp 12923  cexp 13976  abscabs 15128  cli 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  24678  iscmet3lem2  24679
  Copyright terms: Public domain W3C validator