Theorem iscmet3lem3 25343

Description: Lemma for iscmet3 25346. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4		eluzelz 12913	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4, 1	eleq2s 2862	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12		nn0uz 12945	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	12	reseq2i 6006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0))
14		nn0ssz 12662	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
15		resmpt 6066	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
17	13, 16	eqtr3i 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18		halfcn 12508	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20		halfre 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
21		halfge0 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
22		absid 15345	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
23	20, 21, 22	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
24		halflt1 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	eqbrtri 5187	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
27	19, 26	expcnv 15912	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
28	17, 27	eqbrtrid 5201	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0)
29		0z 12650	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		zex 12648	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
31	30	mptex 7260	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
33		climres 15621	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
34	29, 32, 33	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
35	28, 34	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
36	1, 2, 3, 11, 35	climi0 15558	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
37	1	uztrn2 12922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		1rp 13061	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
39		rphalfcl 13084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
41		rpexpcl 14131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
42	40, 6, 41	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
43		rpre 13065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
44		rpge0 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
45	43, 44	absidd 15471	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
47	46	breq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
48	37, 47	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
49	48	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
50	49	ralbidva 3182	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
51	50	rexbidva 3183	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
52	36, 51	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  abscabs 15283   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  25344  iscmet3lem2  25345