Theorem iscmet3lem3 25305

Description: Lemma for iscmet3 25308. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4		eluzelz 12877	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4, 1	eleq2s 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		oveq2 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9		ovex 7448	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7000	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12		nn0uz 12909	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	12	reseq2i 5978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0))
14		nn0ssz 12626	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
15		resmpt 6038	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
17	13, 16	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18		halfcn 12472	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20		halfre 12471	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
21		halfge0 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
22		absid 15295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
23	20, 21, 22	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
24		halflt1 12475	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	eqbrtri 5166	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
27	19, 26	expcnv 15862	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
28	17, 27	eqbrtrid 5180	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0)
29		0z 12614	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		zex 12612	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
31	30	mptex 7231	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
33		climres 15571	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
34	29, 32, 33	sylancr 585	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
35	28, 34	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
36	1, 2, 3, 11, 35	climi0 15508	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
37	1	uztrn2 12886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		1rp 13025	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
39		rphalfcl 13048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
41		rpexpcl 14093	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
42	40, 6, 41	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
43		rpre 13029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
44		rpge0 13034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
45	43, 44	absidd 15421	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
47	46	breq1d 5155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
48	37, 47	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
49	48	anassrs 466	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
50	49	ralbidva 3166	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
51	50	rexbidva 3167	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
52	36, 51	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3464   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228   ↾ cres 5676  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  ℂcc 11146  ℝcr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   < clt 11288   ≤ cle 11289   / cdiv 11911  2c2 12312  ℕ₀cn0 12517  ℤcz 12603  ℤ_≥cuz 12867  ℝ⁺crp 13021  ↑cexp 14074  abscabs 15233   ⇝ cli 15480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8849  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-sup 9477  df-inf 9478  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-rp 13022  df-fl 13805  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15484  df-rlim 15485

This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  25306  iscmet3lem2  25307