Theorem iscmet3lem3 25611

Description: Lemma for iscmet3 25614. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4		eluzelz 12975	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4, 1	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
11	6, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12		nn0uz 13003	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	12	reseq2i 5967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0))
14		nn0ssz 12716	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
15		resmpt 6029	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
17	13, 16	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18		halfcn 12560	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20		halfre 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
21		halfge0 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
22		absid 15463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
23	20, 21, 22	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
24		halflt1 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	eqbrtri 5126	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
27	19, 26	expcnv 16033	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
28	17, 27	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0)
29		0z 12704	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		zex 12702	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
31	30	mptex 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
33		climres 15742	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
34	29, 32, 33	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
35	28, 34	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
36	1, 2, 3, 11, 35	climi0 15679	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
37	1	uztrn2 12984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		1rp 13124	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
39		rphalfcl 13149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
41		rpexpcl 14223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
42	40, 6, 41	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
43		rpre 13129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
44		rpge0 13134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
45	43, 44	absidd 15590	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
46	42, 45	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
47	46	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
48	37, 47	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
49	48	anassrs 473	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
50	49	ralbidva 3184	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
51	50	rexbidva 3185	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
52	36, 51	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656

This theorem is used by:  iscmet3lem1  25612  iscmet3lem2  25613