Theorem iscmet3lem3 25242

Description: Lemma for iscmet3 25245. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑅   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem iscmet3lem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4		eluzelz 12862	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4, 1	eleq2s 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6986	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
12		nn0uz 12894	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	12	reseq2i 5963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0))
14		nn0ssz 12611	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
15		resmpt 6024	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ ℕ0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
17	13, 16	eqtr3i 2760	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
18		halfcn 12455	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
20		halfre 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
21		halfge0 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
22		absid 15315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
23	20, 21, 22	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
24		halflt1 12458	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	eqbrtri 5140	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (abs‘(1 / 2)) < 1)
27	19, 26	expcnv 15880	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
28	17, 27	eqbrtrid 5154	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0)
29		0z 12599	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
30		zex 12597	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
31	30	mptex 7215	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V)
33		climres 15591	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ∈ V) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
34	29, 32, 33	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ↾ (ℤ≥‘0)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0))
35	28, 34	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) ⇝ 0)
36	1, 2, 3, 11, 35	climi0 15528	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅)
37	1	uztrn2 12871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		1rp 13012	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
39		rphalfcl 13036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
41		rpexpcl 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
42	40, 6, 41	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
43		rpre 13017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
44		rpge0 13022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((1 / 2)↑𝑘))
45	43, 44	absidd 15441	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+ → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((1 / 2)↑𝑘)) = ((1 / 2)↑𝑘))
47	46	breq1d 5129	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
48	37, 47	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
49	48	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
50	49	ralbidva 3161	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
51	50	rexbidva 3162	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((1 / 2)↑𝑘)) < 𝑅 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅))
52	36, 51	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  ↑cexp 14079  abscabs 15253   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505

This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  25243  iscmet3lem2  25244